Über nicht-archimedische Algebra. (Q1494758)

Verf. nennt ein System von Zahlen ``meßbar'' oder ``archimedisch'', wenn für je zwei positive Zahlen \(a\), \(b\) eine der Ungleichungen \(a<b\), \(a<2b\), \(a<3b\) usw. besteht. Die Meßbarkeit ist eine Folge der \textit{Dedekind}schen Stetigkeit. Verf. hat sich die Aufgabe gestellt, die \textit{Dedekind}sche Stetigkeit in zwei Bestandteile zu zerlegen, deren einer die Meßbarkeit ist. Den anderen hypothetischen Bestandteil nennt verf. ``reine Stetigkeit''. ``Die Aufgabe ist .... unbestimmt; sie wird zu einer bestimmteren, nicht absolut bestimmten, durch die Forderung, daß\ in rein-stetigen Systemen nach Adjunktion von \(i=\sqrt{-1}\) die algebraischen Operationen ausführbar sein sollen.'' Die \textit{Veronese}sche Stetigkeit ist \textit{eine} Art ``reiner Stetigkeit''. Verf. stellt hier ein zweites System nicht-meßbarer, aber rein-stetiger Zahlen auf, in welchem der Fundamentalsatz der Algebra gültig ist. Der Aufsatz bezieht sich auf Untersuchungen in des Verf. ``Abstrakter Geometrie'' (Leipzig, 1905) (vgl. F. d. M. 36, 518, 1905, JFM 36.0518.03), gegen die von \textit{M. Dehn} (Deutsche Math. Ver. 14, 536, 1905) und \textit{A. Schoenflies} (ebenda 15, 31; F. d. M. 37, 487, 1906, JFM 37.0487.04) Einwände erhoben worden waren. Auf diese Einwände hatte Verf. ebenda 14, 591 u. 15, 214 (F. d. M. 37, 487, 1906, JFM 37.0487.02) kurz erwidert.