Zur Transformation der Scharen bilinearer Formen von unendlich vielen Veränderlichen. (Q1494822)

\textit{Hilbert} (''F. d. M. 37, 351, 1906, siehe JFM 37.0351.03 u. JFM 37.0351.04'') hat gezeigt, daß\ sich eine Theorie der orthogonalen Transformation der reellen quadratischen Formen von abzählbar unendlich vielen Variabeln in einiger Analogie zur entsprechenden algebraischen Theorie der quadratischen Formen von endlich vielen Veränderlichen aufstellen läßt. Man wird daraufhin eine Übertragung der allgemeineren algebraischen Sätze über die Transformation bilinearer Formen mit komplexen Koeffizienten, der sogenannten Elementarteilertheorie, auf bilineare Formen von abzählbar unendlich vielen Veränderlichen versuchen. Bei der Schwierigkeit dieser Aufgabe beschränkt sich der Verf. auf eine gewisse spezielle Klasse solcher Formen. Eine bilineare Form \(A=\sum_{i,k=-\infty}^{+\infty}a_{ik}x_{i}y_{k}\) heiße ``beschränkt'', wenn sich eine positive Größe \(M\) angeben läßt, so daß\ \(\sum_{i,k=-\infty}^{+\infty}\left| a_{ik}\right| x_{i}y_{k}\) konvergiert und unter \(M\) liegt für alle positiven \(x_{i}\), \(y_{k}\), deren Quadratsummen \(\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x_{i}^{2}\), \(\sum_{k=-\infty}^{+\infty}y_{k}^{2}\) konvergieren und gleich 1 sind. Für die Gesamtheit der beschränkten Bilinearformen läßt sich der \textit{Cayley - Frobenius}sche Kalkül in Anwendung bringen. Eine Form \(A\) heiße abgeschlossen, wenn eine andere solche Form \(A^{-1}\) existiert, so daß\ \(AA^{-1}=A^{-1}A=E=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}x_{i}y_{i}\) erfüllt ist. Zwei Bilinearformen \(A\), \(B\) von \(n\) Variabeln werden ähnlich genannt, wenn sie sich durch eine kontragrediente Transformation \(P\) der beiden Variabelnreihen ineinander überführen lassen, so daß\ also \(P^{-1}AP=B\) wird. Die Elementarteilertheorie zeigt, daß\ dies dann und nur dann eintritt, wenn die charakteristischen Funktionen \(\left| A-\lambda E\right|\), \(\left| B-\lambda E\right|\) in ihren Elementarteilern übereinstimmen. Die orthogonale Äquivalenz zweier reellen quadratischen Formen ordnet sich jenem Ähnlichkeitsproblem unter. Analog heißen zwei unendliche, beschränkte Bilinearformen \(A\), \(B\) ähnlich, wenn eine abgeschlossene Bilinearform \(P\) existiert, so daß\ wiederum \(P^{-1}AP=B\) ist. Eine charakteristische Funktion existiert hier zwar nicht, man kann aber unter den ``Nullstellen der charakteristischen Funktion'' diejenigen Werte von \(\lambda\) verstehen, für die \(A-\lambda E\), bzw. \(B-\lambda E\) nicht abgeschlossen ist; die Gesamtheit dieser Stellen heiße das ``Spektrum'' von \(A\), bzw. \(B\). Dann besitzen ähnliche Bilinearformen dasselbe Spektrum. Sodann wird eine besondere Klasse von Bilinearformen \(L=\sum_{i,k=-\infty}^{+\infty}a_{k-i}x_{i}y_{k}\) als ``\textit{Laurent}-Formen'' eingeführt; jeder solchen Form \(L\) entspricht eindeutig eine \textit{Laurent}-Reihe \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_{n}z^{n}\) und umgekehrt. \(L\) ist dann und nur dann beschränkt, wenn \(\varSigma a_{n}\) absolut konvergiert; Summe und Produkt zweier \(L\) entsprechen der Summe und dem Produkt der zugehörigen Reihen; hat eine beschränkte \(L\) eine beschränkte Reziproke, so ist diese wiederum eine \(L\). Im folgenden tritt die Beschränkung auf solche \(L=[f(z)]\) ein, denen eine in der Umgebung des Einheitskreises reguläre analytische Funktion \(f(z)\) entspricht. dann ist das Spektrum einer \(L\) die Gesamtheit der Werte, die die zugehörige analytische Funktion auf dem Einheitskreise annimt. Sätze der Elementarteiltheorie gewinnen, auf Formen \(L\) übertragen, eine unmittelbar anschauliche Evidenz, z. B.: ``Sind \(A\), \(B\) zwei vertauschbare Formen, \(a_{1},\dots,a_{n}\); \(b_{1},\dots,b_{n}\) die Nullstellen ihrer charakteristischen Funktionen, so sind bei passender Zuordnung \(a_{1}b_{1},\dots,a_{n}b_{n}\) die Nullstellen der charakteristischen Funktion von \(AB\)'', und ``Die Nullstellen der charakteristischen Funktion einer reellen quadratischen Form sind sämtlich reell''. Ferner ergibt der \textit{Cauchy}sche Integralsatz für \(f(z)\) für die zugehörige Form \(L\) das Analogon der \textit{Hilbert}schen Integraldarstellung der reellen quadratischen Formen von unendlich Variabeln mit Streckenspektrum.