Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. II. (Q1494838)

Bereits im Jahre 1895 hat \textit{Frobenius} (Berl. Ber. 1895, 981) bewiesen, daß\ die Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe, die der Gleichung \(R^{n}=E\) genügen, ein Vielfaches von \(n\) ist, wenn \(n\) ein Divisor der Ordnung der Gruppe ist. Einen noch weiter gehenden Fundamentalsatz hat der Verf. im Jahre 1903 aufgestellt: Die Anzahl der Elemente einer Gruppe, die der Gleichung \(R^{n}=A\) genügen, ist durch den größen gemeinsamen Divisor von \(n\) und \(g\) teilbar, wenn \(g\) die Anzahl der mit \(A\) vertauschbaren Elemente der Gruppe ist (Berl. Ber. 1903, 987; F. d. M. 34, 153, JFM 34.0153.01). Diese beiden Sätze lassen sich, wie in der vorliegenden Arbeit gezeigt wird, in bemerkenswerter Weise verallgemeinern: Ist \(\chi\) ein Charakter einer Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(h\), ist \(n\) ein Divisor von \(h\), und durchläuft \(R\) die Elemente von \(\mathfrak H\), die der Gleichung \(R^{n}=E\) genügen, so ist \(\sum\chi(R)\) eine durch \(n\) teilbare rationale ganze Zahl. Und allgemeiner: Ist \(\chi\) ein Charakter der Gruppe \(\mathfrak H\), durchläuft \(R\) die Elemente von \(\mathfrak H\), die der Gleichung \(R^{n}=A\) genügen, und ist \(g\) die Anzahl der mit \(A\) vertauschbaren Elemente von \(\mathfrak H\), so ist \(\sum\xi(R)\) eine ganze algebraische Zahl, die durch den größten gemeinsamen Divisor von \(n\) und \(g\) teilbar ist. Aus diesen beiden Sätzen ergeben sich die von \textit{Frobenius} früher aufgestellten Sätze, indem man für \(\chi\) den Hauptcharakter wählt, der für jedes Element der Gruppe den Wert 1 hat. Der erste, sich auf die Gleichung \(R^{n}=E\) beziehende Satz läßt sich noch anders aussprechen: Ist \(n\) ein Divisor von \(h\), so erhält man einen (uneigentlichen) Charakter \(\vartheta(R)\) von \(\mathfrak H\), indem man, falls \(R^{n}=E\) ist, \(\vartheta(R)=\frac{h}{n}\), für alle übrigen Elemente aber \(\vartheta(R)=0\) setzt. Die beiden angeführten Sätze über Gruppencharaktere sind als Spezialfälle in dem allgemeinen Theorem enthalten: Ist \(\chi\) ein Charakter einer Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(h\), in der die Elemente \(A,B,C,\dots\) einen invarianten Komplex bilden, und durchläuft \(R\) die Elemente von \(\mathfrak H\), die einer der Gleichungen \(R^{n}=A\) oder \(B\) oder \(C\dots\) genügen, so ist \(\sum\chi(R)\) eine ganze algebraische Zahl, die durch den größten gemeinsamen Divisor von \(n\) und \(h\) teilbar ist. Beim Beweis der in dieser Arbeit aufgestellten Resultate bedient sich der Verf. eines Verfahrens, das einer von \textit{Blichfeldt} (American M. S. Trans. 5, 401; F. d. M. 35, 161, 1904, JFM 35.0161.01) zum Beweis des speziellen Satzes über die Anzahl der Lösungen der Gleichung \(R^{n}=E\) angewandten Schlußweise ähnlich ist.