Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (Q1494839)

Um die sämtlichen darstellunegn einer gegebenen endlichen Gruppe \(\mathfrak H\) durch gebrochene lineare Substitutionen (Kollineationen) zu bestimmen, hat man, wie der Verf. in einer früheren Arbeit (J. für Math. 127, 20; F. d. M. 35, 155, 1904, JFM 35.0155.01) gezeigt hat, in erster Linie eine ``Darstellungsgruppe'' von \(\mathfrak H\) zu kennen. Es hat sich hierbei gezeigt, daß\ zu einer Gruppe \(\mathfrak H\), die nicht mit ihrer Kommutatorgruppe übereinstimmt, auch mehrere verschiedene Darstellungsgruppen gehören können. Die vorliegende Arbeit verfolgt das Zahl, die früher entwickelte Theorie dieser Darstellungsgruppen in einigen Punkten zu ergänzen und Anwendungen der allgemeinen Resultate auf spezielle Klassen von Gruppen anzugeben. In \(\S\) 1 wird die Frage nach der Anzahl der verschiedenen zu einer Gruppe \(\mathfrak H\) gehörenden Darstellungsgruppen behandelt; insbesondere wird für diese Anzahl eine obere Schranke abgeleitet, die bei einer vollkommenen Gruppe \(\mathfrak H\) mit der genauen Anzahl übereinstimmt. In \(\S\) 2 werden einige Sätze entwickelt, die bei speziellen Gruppen \(\mathfrak H\) die Bestimmung einer Darstellungsgruppe von \(\mathfrak H\) das vor dem in der früheren Arbeit angegebenen den Vorzug der leichteren Anwendbarkeit besitzt, wird in \(\S\) 3 auseinandergesetzt; dieses Verfahren stützt sich auf die Betrachrung irgend eines für die Gruppe \(\mathfrak H\) bekannten Systems von definierenden Relationen zwischen erzeugenden Elementen. Auf Grund dieser Methode bestimmt der Verf. in \(\S\) 4 die Darstellungsgruppen einiger speziellen Gruppen, darunter auch der Abelschen Gruppen. In \(\S\) 5 und \(\S\) 6 werden die Darstellungsgruppen \(\mathfrak H\) der bekannten endlichen Gruppen \(\mathfrak H\) bestimmt,die man durch Betrachtung der binären linearen Substitutionen mit Koeffizienten aus einem \textit{Galois}schen Feld erhält; ferner werden die Charaktere dieser Gruppen \(\mathfrak H\) berechnet. Insbesondere ergeben sich bei dieser Diskussion auch die Charaktereder Gruppen \(\mathfrak H\) selbst (vgl. das folgende Referat, JFM 38.0175.01). Die Kenntnis der Charaktere der Gruppen \(\mathfrak H\) liefert eine genaue Übersicht über alle Kollineationsgruppen, die den verschiedenen Gruppen \(\mathfrak H\) isomorph sind.