Über die Gruppen linearer homogener Substitutionen vom Typus einer endlichen Gruppe. (Q1494843)

Wie in einer früheren Arbeit (Math. Ann. 53, 225; F. d. M. 31, 130, 1900, JFM 31.0130.01) bezeichnet der Verf. eine Gruppe \(\mathfrak G\) linearer homogener Substitutionen von nicht verschwindenden Determinanten als eine Gruppe vom Typus einer endlichen Gruppe, wenn \(\mathfrak G\) neben jeder Substitution die reziproke enthält, und wenn die Gesamtheit der charakteristischen Wurzeln aller Substitutionen von \(\mathfrak G\) nur eine endliche Anzahl untereinander verschiedener Zahlen aufweist. Zu den von \textit{Loewy} in der früheren Arbeit gewonnenen Resultaten über diese Gruppen ist später der von \textit{W. Burnside} (Lond. M. S. Proc. (2) 3, 435; F. d. M. 36, 199, 1905, JFM 36.0199.02) bewiesene Satz hinzugekommen: Jede Gruppe vom Typus einer endlichen Gruppe, die irreduzibel ist, ist eine endliche Gruppe. Mit Hülfe dieses Satzes gelingt es dem Verf., die Theorie der in Frage stehenden Gruppen völlig zu erledigen. Eine Gruppe \(\mathfrak G\) vom Typus einer endlichen Gruppe ist stets und nur dann eine endliche Gruppe, wenn sie vollständig reduzibel ist. in jedem anderen Fall enthält \(\mathfrak G\) eine unendliche invariante Untergruppe \(\mathfrak G\) von endlichem Index, die dadurch charakterisiert ist, daß\ die charakteristischen Wurzeln ihrer linearen Substitutionen sämtlich den Wert 1 haben, und daß\ ihre irreduzibeln Bestandteile vom Grade 1 sind. Eine Gruppe vom Typus einer endlichen Gruppe ist ferner stets und nur dann eine endliche Gruppe, wenn jede ihrer linearen Substitutionen lauter lineare Elementarteiler besitzt. Hieraus folgt auch der von Loewy früher unter einer Einschränkung und von \textit{Burnside} a. a. O. allgemein bewiesene Satz: Läßt sich für eine Gruppe \(\mathfrak G\) linearer homogener Substitutionen eine Zahl \(r\) von der Eigenschaft angeben, daß\ jede Substitution von \(\mathfrak G\) daß\ jede Substitution von \(\mathfrak G\) von \(r\)-ter oder niedrigerer Ordnung ist, so ist \(\mathfrak G\) eine endliche Gruppe. Am Schluß\ der Arbeit zeigt der Verf. noch, daß\ jede Gruppe \(\mathfrak G\) vom Typus einer endlichen Gruppe mindestens eine positive \textit{Hermite}sche Form vom Range \(s\geqq 1\) invariant läßt, und daß\ \(\mathfrak G\) stets und nur dann eine endliche Gruppe ist, wenn unter den positiven \textit{Hermite}schen Formen, die in bezug auf \(\mathfrak G\) invariant sind, mindestens eine vorkommt, deren Rang gleich der Anzahl der Variabeln von \(\mathfrak G\) ist.