Generalization of the groups of genus zero. (Q1494857)

Die einzigen endlichen Gruppen vom Geschlechte Null (vgl. \textit{Burnside}, Theory of Groups, S. 286) sind die zyklischen und die Diedergruppen, ferner die Tetraeder-, die Oktaeder- und die Ikosaedergruppe. Diese Gruppen sind dadurch charakterisiert, daß\ sich jede von ihnen durch ein System von Relationen der Form \[ s_{1}^{m}=1, \quad s_{2}^{n}=1, \quad (s_{1}s_{2})^{r}=1 \] zwischen zwei erzeugenden Elementen \(s_{1}\) und \(s_{2}\) definieren läßt. In einer früheren Arbeit (Arch. der Math. u. Phys. (3) 9, 6-7; F. d. M. 36, 205, 1905, JFM 36.0205.05) hat \textit{Miller} die Diedergruppe in der Weise verallgemeinert, daß\ er an Stelle der Relationen \[ s_{1}^{2}=s_{2}^{2}=1, \quad (s_{1}s_{2}^{-1})^{n}=1, \] die zur Definition der Diedergruppe der Ordnung \(2n\) dienen können, die Relationen \[ s_{1}^{2}=s_{2}^{2}, \quad (s_{1}s_{2}^{-1})^{n}=1 \] ansetzte und die durch diese Gleichungen definierte Gruppe studierte. In ähnlicher Weise verfährt der Verf. jetzt, um zu einer Verallgemeinerung der übrigen Gruppen vom Geschlecht Null zu gelangen. So ersetzt er z. B. bei der Tetraedergruppe die beiden für diese Gruppe zulässigen Systeme von definierenden Relationen \[ s_{1}^{3}=s_{2}^{3}=1, \quad (s_{1}s_{2})^{2}=1; \quad \quad s_{1}^{2}=s_{2}^{3}=1, \quad (s_{1}s_{2})^{3}=1 \] durch die beiden Gleichungssysteme \[ s_{1}^{3}=s_{2}^{3}, \quad (s_{1}s_{2})^{3}=1; \quad \quad s_{1}^{2}=s_{2}^{3}, \quad (s_{1}s_{2})^{3}=1. \] Wegen der sehr speziellen Resultate muß\ auf die Arbeit selbst verwiesen werden.