Lectures on Number Theory. An Introduction to Algebraic Number Fields (Q1494953)

Das fundamentale Werk \textit{Hilberts}: ``Die Theorie der algebraischen Zahlkörper'' gibt eine Zusammenstellung des gesamten Gebietes der Zahlentheorie, nicht aber eine Einführung, die man Studenten empfehlen kann. Das vorliegende Buch will diesem letzten Zwecke dienen. Die Einleitung setzt etwa die Kenntnisse der \textit{Dirichlet}schen Vorlesungen voraus. Sie bringt kurz eine Zusammenstellung der Theorie der ganzen rationalen Zahlen. Das euklidische Teilerverfahren ergibt die eindeutige Zerlegbarkeit in Primzahlen. Die Funktion \(\varphi(m)\) und der \textit{Fermat}sche Satz führt und bis zum \textit{Legendre}schen Symbol \(\left (\frac{m}{p}\right )\). Das zweite Kapitel bringt den Begriff des quadratischen Körpers in \textit{Dedekind}scher Formulierung. An der Hand dieses speziellen Körpers werden nun alle zahlentheoretischen Begriffe eingeführt. Zunächst die ganze Zahl und ihre Darstellung mittels Basiszahlen; Norm; Teilbarkeit. Ein Beispiel zeigt, daß\ die Zerlegung der Zahlen nicht mehr eindeutig zu sein braucht. Dies führt zu den Idealen, die genau nach der allgemeinen Definition von \textit{Hilbert} festgelegt werden. Die Basis des Ideals wird entweder speziell gewählt (eine Basis rational) oder auch hieraus ganz allgemein. Kongruenzen und Norm von Idealen. Eindeutige Zerlegbarkeit in Primideale. Der Äquivalenzbegriff führt zur Klassenanzahl, deren Endlichkeit der \textit{Minkowski}sche Satz für lineare Formen dartut. Dieser letztere Satz wird nach einem Gedanken von \textit{Hilbert} für ternäre lineare Formen bewiesen. Der Gedankengang des Beweises ist folgender: Man bringt die drei Formen durch Substitution auf die Gestalt: \[ f_{1}=\frac{x_{1}}{h_{1}}, \quad f_{2}=\frac{x_{2}}{h_{2}}, \quad f_{3}=c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+h_{1}h_{2}x_{3}, \] für welche er zu erbringen ist. Die Kongruenzen nach Primidealpotenzen führen zur Aufstellung des Symbols \(\left (\frac{\alpha}{\mathfrak p}\right )\). Für reelle quadratische Körper ergibt der \textit{Minkowski}sche Satz auch die Existenz der Einheiten. Eine Anwendung der Theorie des quadratischen Körpers erbringt den Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Der Verf. definiert jetzt das Normenrestsystem nach \textit{Hilbert} und beweist dessen Eigenschaften. Dasselbe dient zur Einteilung der Klassen in Geschlechter. Dieser ganze Abschnitt ist eine ausführliche und elementare Darstellung des dritten Teiles des oben genannten \textit{Hilbert}schen Werkes. Neu ist dagegen der dritte Abschnitt, der die Brücke zwischen der eben vorgetragenen Theorie und der alten \textit{Gauß}schen Theorie der quadratischen Formen schlägt. Nach dem Beweis der Unmöglichkeit einer Auflösung der Gleichung \(x^{3}+y^{3}=z^{3}\) in ganzen Zahlen des \(k(\sqrt{-3})\), und \(x^{4}+y^{4}=z^{2}\) in \(k(\sqrt{-1})\), geht der Verf. dazu über, jedem Ideal eine quadratische Form, und umgekehrt, zuzuordnen. Dies gelingt dank der Basisdarstellung der Ideale. Der Multiplikation der Ideale entspricht die Komposition der Formen Äquivalenten Idealen entsprechen äquivalente Formen. Es folgt eine kurze Darstellung der Punktgitter und ihrer Bedeutung für die Geometrie der quadratischen Körper. Dieselbe schließt sich an die \textit{Klein}schen Vorlesungen über ``Ausgewählte Kapitel der Zahlentheorie'' an. Zeigt sich im quadratischen Körper noch nicht ganze Allgemeinheit der Begriffe, so wird dies dem Leser im vierten Abschnitt, der den kubischen Körper behandelt, zu vollen Klarheit gebracht. Naturgemäßtritt eine Wiederholung der Begriffe ein. Da die Basiszahlen nicht mehr so speziell wie im letzten Kapitel gewählt werden können, muß\ die Existenz derselben nach dem allgemeinen Verfahren vorgenommen werden. Die Idealtheorie wird nach \textit{Hurwitz} begründet. Die Eindeutigkeit der Zerlegung folgt aus der Endlichkeit der Klassenanzahl. Übreall, wie auch in den vorigen Kapiteln, wird auf die wirkliche Berechnung der Größen, also Beispiele großes Gewicht gelegt. Zur Theorie der Einheiten führt wiederum der \textit{Minkowski}sche Satz. Der fünfte und letzte Abschnitt dient dazu, in die neuern Arbeiten einzuführen. Er handelt von Relativkörpern, insbesondere vom relativ-quadratischen Körper eines quadratischen Körpers. Der letztere habe die Klassenanzahl 1. Der Verf. bringt für diesen speziellen Fall das Wesentlichste der \textit{Hilbert}schen Arbeit: ``Über die Theorie der relativ-quadratischen Zahlkörper'' wieder. Die Theorie wird so weit geführt, um dem Leser noch die \textit{Hilbert}sche Form des Reziprozitätsgesetzes des gegebenen quadratischen Körpers zu zeigen, wie sie sich aus der Theorie des relativ-quadratischen Körpers ergibt. Die Annahme, der gegebene Körper habe eine gerade Klassenanzahl, bringt die Definition des Klassenkörpers. Der letztere wird für den Körper \(k(\sqrt{-5})\) aufgestellt seine Haupteigenschaften werden gezeigt. Ein zweites Beispiel ist \(k(\sqrt{-22})\). Den Schlußbilden Tabellen über den reellen und imaginären quadratischen Körper, die mit Erläuterungen versehen sind. Überhaupt ist, wie schon bemerkt, auf das Beispielrechnen, auf den pädagogischen Wert der Ausführung von Zahlenbeispielen durchweg großes Gewicht gelegt.