On hypereven numbers and on \textit{Fermat's} numbers. (Q1494994)

Eine ``hypergerade Zahl'' (F. d. M. 37, 226, 1906, JFM 37.0226.02) nennt der Verf. die Zahl \[ \left.E_{r,n}=2^{2^{2^{.^{.^{.^{2^n}}}}}}\right\}r\text{ mal} \] ``\textit{Fermat}sche Zahl'' die Zahl: \[ F_{n}=1+E_{1,n}=1+2^{2^{n}}. \] Die Reste der Zahlen \(E_{1,n}\) nach einem ungeraden Modul \(m\) ergeben für \(n=0,1,2,\dots\) Zahlenzykeln, die untersucht und einer Tabelle erläutert werden. Dasselbe geschieht auch für die Zahlen \(E_{2,n}=2^{2^{2^n}}\) und die höhern hypergeraden Zahlen. Die Zahlen \(E_{r,0}\) heißen ``vollkommen gerade Zahlen''. Auch deren Restsystem wird untersucht. Eine ``Hyperexponentialzahl'' \(H_{r,n}\) ist die Zahl \[ \left.H_{r,n}=q^{q^{.^{.^{.^{q^n}}}}}\right\}r\;\text{mal.} \] Das letzte Kapitel behandelt die \textit{Fermat}schen Zahlen. Der Verf. zeigt, wie sich das \textit{Legendre}sche Symbol des quadratischen Restes einer Primzahl nach einer \textit{Fermat}schen Zahl berechnet, wie sich jede \textit{Fermat}sche Zahl in den Formen \(a^{2}+b^{2}\), \(c^{2}+2d^{2}\), \(e^{2}-2f^{2}\) darstellen läßt. Schließlich geht er auch auf die achten Potenzreste dieser Zahlen ein.