On Mertens postulate \(|\sigma(n)|\leqq\root\of{n}\). (Q1495037)

\textit{Mertens} hat aus der Annahme \[ |\sigma(n)|<\sqrt{n} \quad \quad \quad \quad (n>1) \] die Relation bewiesen \[ \sum_{1}^{\infty}\;\frac{\mu(x)\text{lg\,}x}{x}=1, \] wo \(\sigma(x)=\sum_{k=1}^{x}\mu(k)\). Aus dieser Relation hat \textit{Landau} (F. d. M. 37, 236, 1906, JFM 37.0236.01) fünf andere wichtige Relationen hergeleitet. Der Verf. erweitert dieses Ergebnis auf den Fall, daß\ ein beliebiger Körper zugrunde gelegt wird. Er setzt z. B. für ein Ideal \(i\) dieses Körpers, das quadratfrei: \[ \mu(i)=(-1)^{\varrho}, \] wenn \(\varrho\) die Anzahl der in \(i\) enthaltenen Primidale ist. Er gelangt zu der Beziehung \[ \sum_{N(i)=1}^{\infty}\;\frac{\mu(i)\text{lg\,}N(i)}{N(i)}=-\frac{1}{\alpha}\,. \] Hierbei entspringt \(\alpha\) aus der \textit{Weber}schen Relation \[ \sum_{n=1}^{y}F(n)=\alpha y+O\left (y^{1-\frac{1}{x}}\right ), \] und \(F(n)\) ist die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Norm eines Ideals des Körpers.