On the arithmetical properties of numbers (Q1495050)

Durch die Einführung der \(p\)-adischen Zahlen hat der Verf. eine weitgehende Analogie zwischen der Arithmetik und den algebraischen Funktionen einer Variable geschaffen. Allein diese neuen Symbole sind verschieden von den gewöhnlichen Zahlen. So können zwei \(p\)-adische Zahlen im Bereich von \(p\) gleich sein, ohne daß\ sie ihrer Größe nach gleich sind. Um diesem Übelstande zu begegnen, entwickelt der Verf. die \(p\)-adischen Zahlen in Potenzreihen nach \(p\), die auch der Größe nach Zahlen darstellen, also konvergieren. Für diese speziellen \(p\)-adischen Zahlen ist dann die \textit{Gleichheit im Bereich} \(p\) und \textit{der Größe nach} übereinstimmend. Wendet man obiges Resultat auf die algebraischen Gleichungen mit rationalen Koeffizienten an, so sieht man, daß\ sich zunächst jede rationale Zahl \(A\) auf eine und nur auf eine Weise in eine konvergente \(p\)-adische Reihe entwickeln läßt, die der Größe nach und im Bereich von \(p\) gleich \(A\) ist. Allgemein wird eine rationale Funktion \(R(x_{1},x_{2},\dots,x_{\mu})\) mit rationalen Koeffizienten durch die aus \(A_{1}, A_{2},\dots, A_{\mu}\) entspringenden \(p\)-adischen Zahlen der Größe nach und im Bereich \(p\) gleich Null sein, falls nur \[ R(A_{1},A_{2},\dots,A_{\mu})=0. \] Der Verf. untersucht, wie weit er dieses Resultat auch auf die algebraischen Zahlen ausdehnen kann. Dazu verwendet er das Resultat, daß, wenn man auch Reihen nach gebrochenen Potenzen \(p^{\frac{1}{\nu}}\) zuzieht, man \(n\) \(p\)-adische Wurzeln zu jeder Gleichung \(n\)-ten Grades erhält. Hier zeigt der Verf., daß\ man diese \(n\) Wurzeln \(\xi_{1}, \xi_{2},\dots, \xi_{n}\) so als \(p\)-adische Zahlen wählen kann, daß\ sie auch der Größe nach die Gleichung befriedigen; allgemein lautet das Resultat: Ist \(G(y)=(y-\eta_{1})\dots(y-\eta_{\nu})=0\) eine beliebige ganzzahlige Gleichung \(\nu\)-ten Grades, so lassen sich ihre \(\nu\) Wurzeln stets so in konvergente \(p\)-adische Reihen entwickeln, daß\ diese für den Bereich von \(p\) den \(\nu\) \(p\)-adischen Wurzeln gleich sind, und daß\ jede zwischen diesen Wurzeln ihrer Größe nach bestehende rationale Gleichung mit rationalen Koeffizienten auch für den Bereich von \(p\) richtig bleibt und umgekehrt. Der Verf. fragt, wie weit sich diese Theorie auch auf transzendente Zahlen ausdehnen läßt. Er gibt die ersten Ansätze zur Lösung dieser Frage. Insbesondere gelingt es dem Verf., die Sätze der Reihentheorie auch auf den Bereich der Primzahl \(p\) zu übertragen. Er untersucht die Sätze, die sich für eine konvergente Potenzreihe im Bereich \(p\) ergeben. Hier gilt der Satz: Besteht zwischen beliebig, aber endlich vielen konvergenten Potenzreihen ihrer Größe nach eine rationale Gleichung \[ G(f(x),g(x),\dots,h(x))=0 \] mit rationalen oder algebraischen Koeffizienten, so ist dieselbe Gleichung auch für den Bereich einer jeden Primzahl \(p\) erfüllt, falls jene Reihen \(f(x),\dots,h(x)\) auch für den Bereich dieser Primzahl einen gemeinsamen endlichen Konvergenzbereich besitzen. Die Theorie, die somit für rationale und algebraische Zahlen, ebenso für rationale, algebraische und transzendente Funktionen bewiesen ist, kann indes nicht ohne weiteres auf transzendente Zahlen ausgedehnt werden.