Grundlagen für eine Theorie des Jacobischen Kettenbruchalgorithmus. (Q1495073)

Schon Jacobi hat versucht, die Lagrangeschen Sätze über periodische Kettenbrüche und quadratische Irrationalen zu verallgemeinern, d. h. einen allgemeinen Algorithmus zu finden, der, wenn periodisch, eine algebraische Zahl darstellt. Allein erst \textit{H. Minkowski} hat dieses Problem gelöst, und zwar auf anderem Wege, als Jacobi versucht hatte [Acta Math. 26, 333--352 (1903; JFM 33.0216.02)]. Der Verf. der vorliegenden Arbeit geht wieder auf die Jacobischen Ansätze zurück. Er definiert den Jacobischen Algorithmus von \((n+1)\) reellen Zahlen \(x_0,x_1,\ldots,x_n\), untersucht die ``Störungen'' desselben (d. h. wann derselbe nicht festzusetzen, wegen Unendlichwerdens eines Gliedes) und beweist bei gewissen Annahmen die Konvergenz und Eindeutigkeit des Verfahrens. Die wichtigste Frage, die nun auftritt, ist: wann ist der Algorithmus periodisch? Dieselbe führt auf die ``charakteristische Gleichung'', die eine Gleichung \((n+1)\)-ten Grades ist, und der Verf. zeigt, wie dieselbe beschaffen sein muß, damit der periodische Algorithmus, aus dem sie entspringt, konvergiert. Bei reiner Periodizität lassen sich dann die Grenzwerte des Algorithmus durch eine ``Hauptwurzel'' der charakteristischen Gleichung rational darstellen. So gelingt es, den Hauptsatz zu beweisen, daß ein periodischer Kettenbruchalgorithmus aus \(n\) Zahlen \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) auf eine charakteristische Gleichung führt, deren größte positive Wurzel eine algebraische Einheit ist, deren Körper \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\) angehören müssen, daß also aus der Periodizität auch folgt, \(\alpha_1-\alpha_n\) seien algebraische Zahlen. Die Umkehrung ist aber nicht möglich. Nicht jede algebraische Zahl läßt sich in einen periodischen Kettenbruchalgorithmus entwickeln. Somit ist das Schlußresultat ein negatives.