Über Beziehungen zwischen algebraischen Gebilden vom Geschlechte zwei und drei. (Q1495166)

Im Anschluß\ an die \textit{Wirtinger}schen Untersuchungen über Thetafunktionen werden die Beziehungen zwischen \textit{Abel}schen Funktionen vom Geschlechte zwei und drei näher untersucht. Einer \textit{Riemann}schen Fläche vom Geschlechte drei in Gestalt einer vierfachen Ebene mit 12 Verzweigungspunkten werde die \textit{Clebsch-Lürot}sche Normalform gegeben. Nach Zerlegung (durch 6 Querschnitte) in eine einfach zusammenhängende Fläche soll sie mit einer zweiten ihr kongruenten längs eines oder mehrerer Querschnitte verbunden werden, was auf 63 Arten möglich ist. Die beiden Flächen seien \(F_{1},F_{2}\), die in einer bestimmten Art vereinigte sei \(F\). Da \(F\) vom Geschlechte 5 ist, gibt es auf \(F\) 5 linear unabhängige Integrale erster Gattung, nämlich, abgesehen von den 3 Integralen \(\tilde u_{1},\tilde u_{2},\tilde u_{3}\) auf \(F_{1}\), zwei besonders interssierende Integrale \(u_{1},u_{2}\), deren Integranden zwei linear unabhängige Wurzelfunktionen zweiter Stufe sind. Zu jeder der 63 Arten \((F_{1},F_{2})\) gehört ein Paar solcher Integrale erster Gattung, und entsprechend tragen die Wurzelfunktionen eine spezielle Charakteristik, am einfachsten \(\left|\begin{smallmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{smallmatrix}\right|\), so daß\ \(F_{1}\) und \(F_{2}\) längs eines einzigen Querschnittes \(b_{1}\) zusammenhängen. Die Querschnitte, vermöge deren \(F_{1}\), resp. \(F_{2}\) in einfach zusammenhängende Flächen zerlegt wurden, seien \(a_\nu\), \(b_\nu\), resp. \(a_\nu'\), \(b_\nu'\) \((\nu=1,2,3)\). Werden die obigen 5 Integrale in bekannter Weise transzendent normiert, so seien sie mit \(v_{i}(i=1,2)\), resp. \(\tilde v_{\kappa}\) \((\kappa=1,2,3)\) bezeichnet. Die Periodizitätsmoduln von \(v_{1}v_{2}\) bezüglich \(b_{3}\) seien \(\tau_{12},\tau_{22}\) und der von \(v_{1}\) bezüglich \(b_{2}\) sei \(\tau_{11}\). Dann eignen sich die drei Größen \(\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22}\) zur Bildung von Thetafunktionen zweier Variabeln, die dann genauer untersucht werden, zunächst hinsichtlich ihrer Nullstellen. Die Ausgangsfunktion läßt sich in die Form bringen: \(\vartheta\left (\frac{1}{2}\int_{x'}^{x}dv_{\kappa}-\eta_{\kappa}\right )\), wo die \(\eta_{\kappa}\) willkürliche Konstanten, \(x\) und \(x'\) konjugierte Stellen von \(F\) sind. Hier lassen sich noch die \(\eta_{\kappa}\) als verschwindend wählen. So entspringen 16 Thetafunktionen \(\vartheta_{\left|{g}\atop{h}\right|}\left (\frac{1}{2}\int_{x'}^{x}dv_{\kappa}\right )\), die an den nämlichen Stellen verschwinden, an denen ein entsprechendes, mit \(\varPsi\) gerade 16 je einem \(\vartheta^{2}\) zugeordnet werden, nehmen 12 eine Ausnahmestellung ein, die zu einem \textit{Steiner}schen System von Doppeltangenten gehören. Daher lassen sich den in Rede stehenden 16 \(\varPsi\) Thetafunktionen mit Halbcharakteristiken zuordnen. Nimmt man von den 16 \(\vartheta\)'s vier, deren Quadrate linear unabhängig sind, und schreibt \(y_{\alpha}=\vartheta_{\alpha}^{2}(v_{1},v_{2})\) \((\alpha=1,\dots,4)\), und deutet man die \(y\) als homogene Punktkoordinaten in einem \(R_{3}\), so wird dadurch eine \textit{Kummer}sche Fläche mit 16 Doppelpunkten und 16 Doppelebenen definiert. Geht man andererseits von einer \(C_{4}\) aus, so entspricht jedem der 63 eigentlichen Systeme von vierfach berührenden Kegelschnitten eine durch die \(C_{4}\) hindurchgehende \textit{Kummer}sche Fläche. Die nach Ausschlußeines \textit{Steiner}schen Systeme verbleibenden 16 Doppeltangenten der \(C_{4}\) gruppieren sich auf 16 Arten zu je 6, die je einen Kegelschnitt umhüllen. Die 16 Reihen der 6 Berührungspunkte sind untereinander und zur Reihe der 6 Verzweigungspunkte desjenigen hyperelliptischen Gebildes projektiv, das durch die bezüglichen 16 \(\vartheta\)'s bestimmt wird. Diese 63 hyperelliptischen Gebilde werden eingehend verfolgt. Es wird gezeigt, wie man an der gegebenen (singularitätenfreien) \(C_{4}\) in charakteristischer Weise jene 63 Gebilde erkennen kann. Weiter ergibt sich, daß\ die quadratische Irrationalität von der Form \(\sqrt{\varDelta(\lambda)}=\sqrt{(\lambda-\lambda_{1})(\lambda-\lambda_{2})\cdots(\lambda-\lambda_{6})}\) das zur betreffenden \textit{Kummer}schen Fläche gehörige hyperelliptische Gebilde charakterisiert. Man nennt zwei \textit{Steiner}sche Systeme von Doppelsechsen von Doppeltangenten syzygetisch oder aber azygetisch, jenachdem sie vier oder aber sechs gemeinsame Doppeltangenten enthalten. Zu jedem, als Doppelsechs aufgefaßten System von Berührungskegelschnitten gehören dann 32 weitere, die zu diesem azygetisch sind; diese 32 Doppelsechse ordnen sich in 16 Paare, und die 16 Kegelschnitte, die von den, den beiden Doppelsechsen gemeinsamen Doppeltangenten umhüllt werden, sind die \textit{Krummer}schen Kegelschnitte des bezüglichen hyperelliptischen Gebildes. Auf diese Weise ist man von einer zweiten Seite her durch einen einfachen Prozeß\ zu den 63 verschiedenen hyperelliptischen Gebilden gelangt. Über die obigen ``vollständigen Systeme von 32 Charakteristiken'' werden noch weitere Sätze mitgeteilt, so u. a. daß\ zwei solche Systeme stets 16 gemeinsame Charakteristiken besitzen. Bis hierher wurde immer nur eines der hyperelliptischen Gebilde an der Kurve vierter Ordnung \(C_{4}\) betrachtet. Es werden indessen noch einige Entwickelungen über die gegenseitigen Beziehungen zweier oder mehrerer hyperelliptischer Gebilde angeschlossen. Die allgemeine \(C_{4}\), vom Geschlechte \(p=3\), hängt von 6 Moduln ab, ein hyperelliptisches Gebilde vom Geschlechte \(p=2\) von 3 Moduln, und ebenso die durch das letztere Gebilde bereits definierte \textit{Kummer}sche Fläche von 3 Moduln. Nun wurde die \(C_{4}\) als ebenes Schnittgebilde einer \textit{Kummer}schen Fläche aufgefaßt; in der Tat hängt die so erzeugte \(C_{4}\) wegen \(\infty^{3}\) Schar der Ebenen von 6 Moduln ab. Zwei unter den 63 obigen \textit{Kummer}schen Flächen, mit unabhängigen Moduln, können nur auf eine endliche Anzahl von Arten nach projektiven \(C_{4}\) durch Ebenen geschnitten werden. Auf diese Weise wird die aufgeworfene Frage mit geometrischen Mitteln behandelt.