Über die zu einer ebenen algebraischen Kurve gehörigen transzendenten Formen und Differentialgleichungen. (Q1495167)

Diese Arbeit schließt sich an eine kurz voraufgegangene (Wien. Ber. 115, 1475-1483; F. d. M. 37, 342, 1906, JFM 37.0342.01) ``Über nirgends singuläre lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung'' an. Von der dortigen Beschränkung auf Singularitätenfreiheit der ebenen Kurven soll hier abgesehen werden. Als Grundlage dienen die \textit{Klein-Ritter}schen multiplikativen Formen in Verknüpfung mit den Methoden der elementaren Invariantentheorie. Als unabhängige Variable dient eine unverzweigte, bei Periodenwegen sich linear substituierende Größe \(\xi\) erster Ordnung. Die Substitutionen \(S\) von \(\xi\) seien \(\frac{\gamma+\delta\xi}{\alpha+\beta\xi}\) mit \(\alpha\delta-\beta\gamma=1\); die durch \(\xi=\xi_{2}/\xi_{1}\) eingeführten binären \(\xi_{1},\xi_{2}\) sollen vermöge der Substitutionen \(\overline{S}:\pm(\alpha\xi_{1}+\beta\xi_{2}),\pm(\gamma\xi_{1}+\delta\xi_{2})\) fortgesetzt werden. Die in Betracht kommenden Formen \(M\) von \(\xi_{1},\xi_{2}\) sollen multiplikative sein, d. h. bei Fortsetzung der \(\xi_{1},\xi_{2}\) in konstante Multipla ihrer selbst übergehen; überdies sollen sie auf dem Gebilde unverzweigt und überall endlich sein, von einem Grade \(\mu\). Dann besitzt \(\frac{M}{(a\xi_{1}+b\xi_{2})^{\mu}}\) die charakteristische Eigenschaft, für jeden Wert \(\xi_{0}\neq - a/b\) in eine gewöhnliche Potenzreihe \({\mathfrak P}(\xi / \xi_{0})\) entwickelbar zu sein. Zur Beurteilung des Verhaltens von (auch nicht rational ganzen) Formen in der Umgebung der einzelnen Stellen des Gebildes ist einmal die Symbolik, andererseits die invariantentheoretische Methode der einseitigen Derivierten von Nutzen. Für \(\xi_{1}=1,\xi_{2}=\xi\) definiere man \(M_{r}\) durch \(M_{r}=\frac{\varGamma(\mu-\nu+1)}{\varGamma(\mu+1)}\cdot\frac{d^{r}M(1,\xi)}{d\xi^{r}}\). Die \(k\)-te Überschiebung zweier Formen \(M,N\) von den Graden \(\mu,\nu\) ist dann äußerlich die bekannte: \(M_{0}N_{k}-\left ({k}\atop{1}\right )M_{1}N_{k- 1}+\left ({k}\atop{2}\right )M_{2}N_{k-2}-\cdots\pm M_{k}N_{0}\). Macht man homogen, so wird mit \(\xi_{1}^{\mu+\nu-2k}\) heraufmultipliziert. Die Überscheibungen unverzweigter Formen sind wieder unverzweigte Formen; sind im besonderen die Formen überall endlich, so auch die Überschiebungen. Überdies sind die Überschiebungen multiplikativer Formen wieder solche, wobei sich die Multiplikatoren \(\varepsilon,\varepsilon'\) einfach multiplizieren. Nunmehr sei das algebraische Gebilde vom Geschlechte \(p\) als ebene Kurve \(f\equiv f_{x}^{n}=0\) gegeben. Jede rationale Form der \(x\) von der Ordnung \(m\) ist dann eine unverzweigte multiplikative Form mit dem Multiplikatorsystem \((\varepsilon^{m})\); insbesondere ist jede ganzrationale Form der \(x\) eine überall endliche Form (Sätze I, II). Der erstere Satz gestattet die Umkehrung (III): ist \(M\) eine unverzweigte multiplikative Form, deren Grad \(\mu\) ein Multiplum, etwa das \(m\)-fache des Grades der \(x\) ist, mit dem Multiplikatorsystem \((\varepsilon^{m})\), so ist \(M\) rational durch die \(x\) darstellbar. Der Satz II ist dagegen nicht ohne weiteres umkehrbar, für das folgende genügt jedoch der Satz IV: Ist eine Form \(M\) des Satzes III außerdem überall endlich und adjungiert, so ist die ganz rational durch die \(x\) ausdrückbar. Es wird nunmehr die ``Adjunktionsform \(\varDelta\)'' von \(f\) eingeführt als der größte gemeinsame Teiler aller ersten Polarformen von \(f\). Dann ist \textit{Teilbarkeit} von \(M\) durch \(\varDelta\) die erforderliche und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine gegebene unverzweigte, überall endliche Form \(M\) adjungiert ist. Es wird die nirgends singuläre und nirgends verschwindende Differentialform \((\xi,d\xi)\) aufgestellt: \[ (\xi,d\xi)=-\frac{p-1}{n}\;\frac{\varDelta.\left|\begin{smallmatrix} u_{x} & u_{dx}\\ v_{x} & v_{dx}\end{smallmatrix}\right|}{f_{x}^{n-1}(fuv)}. \] Dann gewinnt man die erste Überschiebung \((M,N)^{1}\) von \(M,N\) unmittelbar durch \(\frac{(f,M,N)^{1}}{\varDelta}\), wo der Zähler die Funktionaldeterminante von \(f,M,N\) bezeichnet. Es sei weiter \(A\) irgend eine rationale Form der \(x\), \(\varDelta\) nicht konstant, also die Kurve nicht singularitätenfrei. Dann ist auch die Form \(B-(A,\varDelta)^{1}\) in den \(x\) rational, und, falls die Kurve \(A=0\) durch alle singulären Punkte von \(f\) hindurchgeht, auch ganz in den \(x\). Dann gilt nach obigen \((f,A,\varDelta)^{1}+B\varDelta=0\), was eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung zur Bestimmung der Adjunktionsform \(\varDelta\) ist, die sich unmittelbar integrieren läßt. Dabei ist \(B\) so zu bestimmen, daß\ das im Exponenten von \(e\) stehende Integral eine Reihe vorgegebener logarithmischer Punkte mit vorgegebenen Residuen besitzt, im übrigen endlich bleibt. Zur Berechnung der höheren Überscheibungen genügt es, die zweite Überscheibung zweier irgendwie bestimmt ausgewählten Formen zu kennen, am einfachsten zweier Linearformen: \((u_{x},v_{x})^{2}\). Mit Hülfe einer gewissen adjugierten ganzen Rationalform \(C\) läßt sich ein Ausdruck bilden, der durch \(\varDelta^{2}\) teilbar wird und die charakteristischen Eigenschaften der Bildung \(\varDelta^{2}(u_{x},v_{x})^{2}\) besitzt, also deren Wert darstellt. Die Bestimmung von \(C\) läßt sich nach derselben Methode leisten wie oben die Bestimmung von \(B\). Im übrigen ist \(C\) durch die ihm auferlegten Bedingungen nicht völlig bestimmt, sondern nur bis auf ein Glied von der Gestalt \(A.\varPhi\), wo \(\varPhi\) eine durch \(\varDelta^{2}\) teilbare ganze Rationalform der \(x\) von der Ordnung \(2(n-3)\) bedeutet. \(\varPhi\) ist also nichts anderes als ein beliebiger ganzer und rationaler homogener Ausdruck zweiten Grades in den adjungierten Formen \(\varphi\), und da es \(3p-3\) linear unabhängige \(\varphi\) gibt, so erhält die allgemeine Gestalt von \(C\) gerade \(3p-3\) linear eingehende willkürliche Parameter. Damit läßt sich die zweite Überschiebung \((u_{x},v_x)^{2}\) explizite in invarianter Gestalt aufstellen. Die letztere Darstellung erlaubt, ohne weitere Rechnung eine lineare singularitätenfreie Differentialgleichung aufzustellen, der \(\xi_{1},\xi_{2}\), als Funktionen der \(x\) genügen. Umgekehrt darf diese Gleichung gradezu als Definitionsgleichung der \(\xi\) angesehen werden und die Existenz dieser Größen als Konsequenz der elementaren Sätze über die Existenz der Integrale linearer Differentialgleichungen.