\textit{Pascal's} theorem. (Q1495188)

Den Gegenstand des ersten Teils dieser Abhandlung bildet die Aufgabe, in einer symmetrischen Form des Ausdruck zu finden für die Koordinaten der verschiedenen Punkte und Geraden, die mit dem \textit{Pascal}schen, aus 6 Punkten des Kegelschnitts \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\) gebildeten Sechsecke zusammenhängen, und zwar aus den Koordinaten dieser 6 Punkte. Im zweiten Teile wird von der Ausdehnung einiger der Sätze auf die von 6 Erzeugenden einer Fläche zweiter Ordnung gebildeten oder auch von 12 Erzeugenden durch 6 koplanare Punkte gebildeten Figuren gehandelt. Im dritten Teile wird gezeigt, wie geometrische Sätze für andere Kurven und Oberflächen aus den algebraischen Identitäten. Die Resultate für den Torus und für ebene Kurven vierter Ordnung werden eingehender gegeben. Aus dem zweiten Teile führen wir an: Sechs Erzeugende einer Fläche zweiter Ordnung, drei aus der einen und drei aus der anderen Schar, bestimmen 6 \textit{Pascal}sche Ebenen, die sich zu je dreien in zwei bezüglich der Fläche konjugierten \(g\)-Linien schneiden, und 6 \textit{Brianchon}sche Punkte, die zu je dreien auf denselben beiden \(g\)-Linien liegen. Die so gebildete Figur, die zu je dreien auf denselben beiden \(g\)-Linien liegen. Die so gebildete Figur wird durch eine beliebige Ebene in 6 Punkten eines Kegelschnitts, 6 \textit{Pascal}schen Geraden und 2 \(g\)-Punkten geschnitten; die 6 \textit{Pascal}schen Geraden und die 2 \(g\)-Punkte sind durch diejenigen Sechsecke bestimmt, für welche die drei Erzeugenden der einen Schar durch alternierende Ecken gehen. -- 12 Erzeugende einer Fläche zweiter Ordnung, die durch 6 Punkte eines und desselben ebenen Schnittes gehen, bestimmen eine Konfiguration von 120 \textit{Pascal}schen Ebenen, 40 \(g\)-Linien, 120 \(h\)-Linien, 40 \(G\)-Ebenen, die sich paarweise in den entsprechenden Linien und Punkten der von den 6 Punkten des ebenen Schnittes bestimmten Konfiguration schneiden. Sie bilden 20 Gruppen von 6 Erzeugenden; jede Sechsergruppe bestimmt 6 \textit{Pascal}sche Ebenen und 2 \(g\)-Linien. Jeder Gruppe von 6 Erzeugenden entspricht eine reziproke Gruppe der anderen 6; eine \textit{Pascal}sche Ebene, die zu einer Gruppe gehört, schneidet die entsprechende \textit{Pascal}sche Ebene, die zu einer Gruppe gehört, schneidet die entsprechende \textit{Pascal}sche Ebene der reziproken Gruppe in einer \textit{Pascal}schen Geraden des ebenen Schnitts.