Über orthologische Tetraeder. (Q1495345)

(s. auch JFM 38.0656.01) Beide Arbeiten schließen an Sätze von \textit{Eberhard} an (vgl. das Referat F. d. M. 37, 571, 1906, JFM 37.0571.07). In der genannten Arbeit werden ``diese Sätze und verwandte mit algebraischen Hülfsmitteln behandelt, wodurch ... nicht nur der gegenseitige Zusammenhang der Sätze schärfer hervortritt, sondern auch eine größe Reihe von Verallgemeinerungen sich fast von selbst aufdrängt. -- Als Kern des Ganzes erscheint eine Identität, die die Kanten zweier beliebigen Tetraeder mteinander verknüpft, d. h. es gibt eine Simultaninvariante beider Tetraeder, deren identisches Verschwinden aussagt, daß, wenn sich fünf Paare entsprechender Kanten beider Tetraeder treffen, dies auch für das sechste Paar stattfindet. Diese Simultaninvariante nimmt die einfachste Gestalt an, wenn die beiden Tetraeder als dualistisch einander gegenüberstehend aufgefaßt werden, und ist auch einer metrischen Deutung fähig. -- Die gemeinte Identität bleibt gültig, wenn eines der Tetraeder oder auch beide in ebene Vierecke ausarten, und es wird erst dann notwendig, sie durch eine wesentlich andere Identität zu ersetzen, wenn auch die Ebenen beider Vierecke so zusammenfallen, daß\ ihre eineindeutige, involutorische, kubische Transformation, die auch in den zahlreichen anderen Arbeiten des Verf. über die Geometrie des Tetraeders (Zusammenstellung der früheren siehe F. d. M. 36, 699, 1905) eine wesentliche Rolle spielt. Der Verf. der an zweiter Stelle genannten Arbeit bezeichnet zwei im \textit{Eberhard}schen Sinne kantenvertikale Tetraeder als orthologisch, die dort \(P,P\) genannten Punkte (vgl. das eingangs zitierte Referat) als ``Orthopole'' und beweist z. B. den Satz: In zwei orthologischen Tetraedern haben die Orthopole gleiche baryzentrische Koordinaten in bezug auf das entsprechende Tetraeder. (Eine geeignete Verschiebung macht orthologische Tetraeder polarreziprok zueinander in bezug auf eine Kugel.) Im übrigen gibt die Arbeit zu den \textit{Eberhard}schen Sätzen noch ``literarische Notizen, Ergänzungen und Verallgemeinerungen, sowie auch einige Beweise'', die aber nicht alle neu sind. Dem Literaturverzeichnis auf S. 213 ist die Progr. Abh. von \textit{Eckard} 1869 hinzuzufügen.