Some particular solutions in the problem of \(n\) bodies. (Q1495530)

Es wird angenommen, daß\ die \(n\) Körper (Massenpunkte) sich mit derselben Winkelgeschwindigkeit \(N\) um ihren gemeinsamen Schwerpunkt in einer und derselben Ebene bewegen. Dann gehen die Bewegungsgleichungen über in \[ (1) \quad \quad -N^{2}x_{i}+\sum_{j=1}^{n}\frac{m_{j}(x_{i}-x_{j})}{r_{i,j}^{3}}=0, \quad -N^{2}y_{i}+\sum_{j=1}^{n}\frac{mj(y_{i}-y_{j})}{r_{i,j}^{3}}=0, \] für \(i=1,2,\dots,n\) und \(j\neq i\); außerdem gelten die beiden selbstverständlichen Gleichungen \(\varSigma m_{i}x_{i}=0\), \(\varSigma m_{i}y_{i}=0\). Das System (1) von \(2n\) algebraischen Gleichungen enthält das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit \(N\), die \(n-1\) Verhältnisse der Massen, die \(2n-1\) Verhältnisse der Abstände \(x_{i}\) und \(y_{i}\). Von diesen Größen können also \(n-1\) willkürlich gewählt, die übrigen \(2n\) durch (1) bestimmt werden. Für \(n=3\) ergibt sich das \textit{Lagrange}sche Beispiel des gleichseitigen Dreiecks. Für vier Körper ist der Rhombus eine mögliche Konfiguration, wenn 1. gegenüberliegende Massen gleich sind, 2. das Verhältnis der Diagonalen größer als \(1/\sqrt{3}\) und kleiner als \(\sqrt{3}\) ist. Das Massenverhältnis wird dabei durch eine Gleichung bestimmt, die Winkelgeschwindigkeit durch eine andere. Hiernach wird der verwandte Fall behandelt, bei welchem ein fünfter Körper sich im Zentrum des Rhombus befindet; ferner das ,,Kontraparallelogramm``. Im Hinblick auf die bekannte Lösung von \(n\) gleichen Massen in den \(n\) Ecken eines regelmäßigen \(n\)-Ecks werden dann symmetrische Konfigurationen betrachtet. Insbesondere werden für \(n=8\) drei verschiedene Lagen nebst den zugehörigen Bedingungen näher untersucht. Zuletzt wird auch das Beispiel eines Rhombus behandelt, der zwar dieselbe Form, aber nicht dieselbe Größe behält.