Sur la dérivée des potentiels de simple et de double couche. (Q1495633)

Für den Zusammenhang zwischen dem logarithmischen Potential einer Doppelbelegung und den Differentialquotienten des logarithmischen Potentials einer Doppelbelegung und den Differentialquotienten des logarithmischen Potentials einer einfachen Belegung wird hier folgende, von \textit{Darboux} in seinen Vorlesungen angegebene Ableitung mitgeteilt. Bezeichnet \(r_{ps}\) den Abstand der Punkte \(p\) und \(s,\frac{\partial f}{\partial_{\lambda}p}\) die Ableitung von \(f\) nach der Richtung \(\lambda\) für den variablen Punkt \(p\), so ist \[ (1) \quad \frac{\partial}{\partial_{\lambda}p}\left (\log\frac{1}{r_{ps}}\right)=-\frac{\partial}{\partial_{\lambda}s}\left ( \log\frac{1}{r_{ps}}\right )=-\cos(n,\lambda)\frac{\partial}{\partial_{n}s}\left (\log\frac{1}{r_{ps}}\right )-\cos(s,\lambda)\frac{\partial}{\partial_{t}s}\left (\log\frac{1}{r_{ps}}\right ), \] worin \(n\) die Normale, \(t\) die Tangente derienigen Kurve \(c\) ist, auf der der Punkt \(s\) liegt. Ist nun \[ V_{p}=\int_{c}\mu(s)\log\left (\frac{1}{r_{ps}}\right )ds \] das logarithmische Potential einer einfachen Belegung der Kurve \(c\), so zerfällt bei Benutzung von (1) \(\frac{\partial V_{p}}{\partial_{\lambda}p}\) in die Summe zweier Integrale, deren erstes das logarithmische Potential einer Doppelschicht von der Dichtigkeit \(\mu(s)\cos(n,\lambda)\) darstellt, während das zweite nach teilweiser Integration das Potential einer einfachen Schicht von der Dichtigkeit \(\frac{\partial}{\partial_{t}s}[\mu(s)\cos(s,\lambda)]\) darstellt. \(\frac{\partial V}{\partial_{\lambda}p}\) besitzt daher dieselbe Unstetigkeit wie das Potential einer Doppelbelegung von der Dichtigkeit \(\mu(s)\cos(n,\lambda)\). Diese Argumentation setzt voraus, daß\ die Kurve \(c\) überall einen bestimmten Krümmungsradius besitzt und \(\mu(s)\) differenzierbar ist. Der Verf. zeigt nun weiter, daß\ das Resultat auch richtig bleibt, wenn \(\mu(s)\) keine differenzierbare Funktion ist, dafür aber die \textit{Lipschitz}sche Bedingung erfüllt: \[ |\mu(s)-\mu(s_{0})|<a| s-s_{0}|. \] Zum Schluß\ wird bemerkt, daß\ man in gleicher Weise auch die Diskontinuitäten der Ableitungen des Potentials einer Doppelschicht ermitteln könne.