Über lineare Randwertaufgaben der Potentialtheorie. II. Teil. (Q1495636)

In dieser Fortsetzung einer früheren Arbeit, über die F. d. M. 35, 777, 1904, JFM 35.0777.01 berichtet ist \(^1)\), werden zunächst verschiedene Resultate jener Arbeit rekapituliert. Ferner werden die Funktionen \(H(s,p)\) und \(G(q,p)\) von jenem Gliede befreit, welches an einem Pole \(\lambda_{0}\) unendlich wird (Hauptteil), indem gesetzt wird \[ \begin{aligned} & H(s,p)=\frac{1}{2\pi}\;{\mathfrak H}(s,p)+\frac{P_{\lambda_{0}(s,p)}}{\lambda_{0}-\lambda}\,,\\ & G(q,p)=\frac{1}{2\pi}\;{\mathfrak G}(q,p)+ \frac{\lambda_{0}Q_{\lambda_{0}}(q,p)}{\lambda_{0}-\lambda}\,.\end{aligned} \] Für die besonders wichtigen Fälle \(\lambda_{0}=+1\) und \(\lambda_{0}=- 1\) werden die Funktionen \(\mathfrak H\) und \(\mathfrak G\) durch den unteren Index \(+1\), resp. \(-1\) gekennzeichet. Ferner werden Innenpunkte von Außenpunkten dadurch unterschieden, daß\ den ersteren der obere Index + (also \(p^{+},q^{+}\)) beigefügt wird, den Außenpunkten der Index \(-\). Auch innere und äußere Randpunkte \(s\) werden durch dieselben Indizes unterschieden. Für die Funktionen \({\mathfrak H}_{+1}, {\mathfrak G}_{+1}, {\mathfrak H}_{-1}, {\mathfrak G}_{-1}\) werden nun verschiedene Sätze abgeleitet. Wir erwähnen davon folgende: Es ist \[ 2\cdot {\mathfrak H}_{+1}(s,p^{-})=\frac{\partial}{\partial n_{s}}\;{\mathfrak G}_{+1}(s^{-},p^{-}), \] \[ 2\cdot {\mathfrak H}_{-1}(s,p^{+})=\frac{\partial}{\partial n_{s}}\;{\mathfrak G}_{- 1}(s^{+},p^{+}). \] Ferner: ``Die \textit{Green}sche Funktion \({\mathfrak G}_{+1}(q^{-},p^{-})\), resp. \({\mathfrak G}_{+1}(q^{+},p^{+})\) gibt bis auf eine additive Konstante das einzige reguläre Potential eines Außen-, bzw. Innegebietes, welches vorgeschriebene Randwerte \(f(s)\), bzw. \(-f(s)\) bis auf je einen konstanten Unterschied auf jeder der begrenzten geschlossenen Flächen annimmt und auf jeder ohne Ladung ist''. Endlich: ``Die \textit{Green}sche Funktion \({\mathfrak G}_{-1}(q^{-},p^{-})\), bzw. \({\mathfrak G}_{-1}(q^{+},p^{+})\) gibt bis auf eine additive (stetige) Konstante das einzige reguläre Potential eines Außen-, bzw. Innengebietes, welches vorgeschriebene normale Ableitungen am Rande annimmt''. Die allgemeinen Ergebnisse werden auf die in der mathematischen Physik wichtigen Probleme der Elektrostatik, der stationären elektrischen Ströme und des stationären Temperaturzustandes angewandt. Diese Probleme werden unter der sehr allgemeinen Voraussetzung behandelt, daß\ im betrachteten Gebiet Flächen liegen, an denen die normalen Ableitungen des Potentials einen Sprung erleiden, der durch eine lineare Relation zwischen den beiderseitigen normalen Ableitungen gegeben ist. Die Lösung, auf deren Einzelheiten hier nicht eingegangen werden kann, gelingt und ist eindeutig, und dabei können die Flächen einen beliebigen Zusammenhang haben. Allerdings haftet, wie der Verf. selbst hervorhebt, den Untersuchungen noch eine große Unvollkommenheit an. Die Konvergenzbeweise lassen sich nicht auf den Fall ausdehnen, wo die Begrenzung des Gebietes Singularitäten, wie etwa Ecken oder Spitzen, besitzt. Dieser Unvollkommenheit wegen, die zu beseitigen ihm nicht gelungen sei, habe er mit der Veröffentlichung seiner Resultate, deren wesentlichste er bereits 1902 gefunden, bisher gewartet. \(^1)\)In jenem Referat enthält eine Formel einen Druckfehler,. In der Formel S. 779, Zeile 14 von oben muß die Rechte Seite l auten:) \[ \lambda\int G(q,\vartheta)h(\vartheta,p)d\vartheta. \]