L'équation biharmonique et une classe remarquable de fonctions fondamentales harmoniques. (Q1495637)

Es sei \(D\) ein zwei- oder dreidimensionales endliches Gebiet, \(S\) seine Begrenzung (über die Beschaffenheit von \(S\) werden dieselben Annahmen gemacht wie in früheren Arbeiten des Verf., vgl. F. d. M. 32, 369, 1901, JFM 32.0369.01), \(d\tau\) ein Element von \(D\), \(ds\) ein Element von \(S\). \(A\) und \(B\) seien zwei Punkte von \(D, G(A,B)\) die zu \(D\) gehörige \textit{Green}sche Funktion; endlich bezeichnte \(T\) den Flächeninhalt, resp. das Volumen von \(D\) und \(\varDelta\) die \textit{Laplace}sche Operation. Dann wird zunächst eine Funktion \(h(A)\) bestimmt, die in \(D\) der Gleichung \[ \varDelta h+\tfrac{1}{T}=0 \] genügt und an der Grenze \(S\) verschwindet, ferner eine Funktion \(F(A,B)\), die sowohl als Funktion von \(A\), wie als Funktion von \(B\) betrachtet, im Innern von \(D\) der \textit{Laplace}schen Gleichung genügt, sowie folgenden Nebenbedingungen: Es soll \[ \int_{(D)}F(A,B)d\tau_{B}=0 \] sein und an der Grenze \(S\): \[ \frac{\partial F(A,B)}{\partial N_{B}}=\frac{\partial G(A,B)}{\partial N_{B}}-\frac{\partial h(B)}{\partial N_{B}}. \] Eine solche Funktion \(F(A,B)\) existiert stets und ist in bezug auf die Punkte \(A\) und \(B\) symmetrisch. Weiter wird eine Funktion \(v(A)\) betrachtet, die der Integralgleichung \[ v(A)+\lambda\int_{(D)}F(A,B)v(B)d\tau_{B}=u(A) \] genügt, worin \(u(A)\) eine im Innern von \(D\) gegebene harmonische Funktion bezeichnet, \(\lambda\) einen Parameter, \(v(A)\) ist, als Funktion der Koordinaten von \(A\) betrachtet, eine harmonische Funktion; zugleich ist \(v(A)\) eine analytische Funktion von \(\lambda\), die nur einfache reelle und positive Pole besitzt. Bezeichnet \(\lambda_{k} \quad (k=1,2,3,\dots)\) einen der Pole von \(v(A)\), so wird schließlich die Funktion \(V_{k}(A)\) durch die Integralgleichung \[ (9) \quad \quad \quad V_{k}(A)+\lambda_{k}\int_{(D)}V_{k}(B)F(A,B)d\tau_{B}=0 \] definiert. Diese Funktionen \(V_{k}(A)\) bilden die besondere Klasse von harmonischen Funktionen, auf die der Titel hinweist; \(\lambda_{k}\) heißt die zu \(V_{k}(A)\) gehörige charakteristische Zahl. Von den Eigenschaften der in Rede stehenden Funktionen seien folgende hier angeführt: Zwischen irgend einer endlichen Zahl von Funktionen \(V_{k}(A)\) existiert nie eine lineare homogene Relation mit konstanten Koeffizienten. Für \(k\neq k'\) ist \[ \int_{(D)}V_{k}V_{k'}d\tau=0, \quad \text{während} \quad \int_{(D)}V_{k}^{2}d\tau=1 \] ist. Ferner ist \[ \int_{(D)}V_{k}d\tau=0, \] und die charakteristischen Zahlen \(\lambda_{k}\) bilden eine mit dem Index \(k\) beständig wachsende Reihe. Mittels der eben angegebenen Integralsätze kann man jede in \(D\) gegebene harmonische Funktion \(u(A)\) in eine Reihe entwickeln: \[ u(A)=c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}V_{k}(A); \] und diese Reihe konvergiert stets absolut und gleichförmig für Punkte im Innern von \(D\), falls \[ \int_{(D)}u^{2}d\tau \] einen Sinn hat, während die Reihe an der Grenze \(S\) von \(D\) divergent werden kann. Mittels der Funktionen \(V_{k}\) läßt sich die biharmonische Gleichung \(\varDelta\varDelta v=0\) integrieren. Genügt \(v\) im Innern von \(D\) dieser Gleichung, während an der Grenze \(S\) \(v=\sigma\), \(\frac{\partial v}{\partial N}=\sigma_{1}\) sein soll, so ist die Lösung: \[ v(A)=\int_{(S)}\sigma(E)\;\frac{\partial G(A,E)}{\partial N_{E}}\;ds_{E}+\int_{(D)}\left\{c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}c_{k}V_{k}(B)\right\}G(A,B) d\tau_{B}, \] und darin ist \[ c_{0}=\tfrac{1}{T}\int_{(S)}\sigma_{1}ds,c_{k}=\int_{(S)}\left\{V_{k}\cdot \sigma_{1}-\sigma\frac{\partial V_{k}}{\partial N}\right\}ds \quad (k=1,2,3,\dots). \] An diese allgemeinen Resultate, die zum großen Teil ohne Beweis mitgeteilt werden, schließt der Verf. die Bestimmung der Funktion \(V_{k}\) für den Fall, daß\ das Gebiet \(D\) ein zweidimensionales und entweder von einem Kreise, oder von zwei konzentrischen Kreisen, oder endlich von einer Ellipse begrenzt ist. Ist \(D\) das Innere eines Kreises vom Radius \(r\), so wird \[ F(A,B)=-\sum_{1}^{\infty}\cdot\frac{(\varrho\varrho_{1})^{k}\cos k(\vartheta- \vartheta_{1})}{k\pi r^{2k}}. \] Darin sind \(\varrho,\vartheta\) die Polarkoordinaten von \(A,\varrho_{1},\vartheta_{1}\) die von \(B\). Ferner wird \[ \left.\begin{aligned} & \lambda_{2k-1}=\lambda_{2k}=\frac{2k(1+k)}{r^2}\,\\ & V_{2k-1}=\frac{1}{r^{k+1}}\sqrt{\frac{2(1+k)}{\pi}}\,\varrho^k\sin(k\vartheta) ,\\ & V_{2k}=\frac{1}{r^{k+1}}\sqrt{\frac{2(1+k)}{\pi}}\varrho^k\cos(k\vartheta), \end{aligned}\right\}\quad (k=1,2,3,\dots). \] Die Resultate der beiden anderen Fälle übergehen wir, da ihre Mitteilung zu großen Raum in Anspruch nehmen würde, und bemerken nur, daß\ man von dem Fall eines kreisförmigen Gebietes \(D\) durch konforme Abbildung zu einem anderen Gebiet übergehen kann, das durch eine einzige analytische Kurve begrenzt ist.