Sur les équations de l'élasticité. (Q1495709)

Um das Problem des Gleichgewichts in der Elastizitätstheorie in dem Falle, daß\ die Verrückungen \(\overline{u},\overline{v},\overline{w}\) der Oberflächenpunkte gegeben sind, allgemein zu lösen, hat man ein System \(u,v,w\) von Lösungen der Differentialgleichungen zu finden: \[ (1) \quad \varDelta u+k\;\frac{\partial\theta}{\partial x}=-X, \quad \varDelta v+k\;\frac{\partial\theta}{\partial y}=-Y, \quad \varDelta w+k\;\frac{\partial\theta}{\partial z}=-Z, \] \[ \theta=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}, \] so daß\ \(u,v,w\) nebst ihren ersten Ableitungen in dem Bereiche \(\tau\) des elastischen Körpers stetig sind und an der Oberfläche \(\sigma\) von \(\tau\) den Grenzbedingungen genügen: \[ (2) \quad \quad \quad \quad u=\overline{u}, \quad v=\overline{v}, \quad w=\overline{w}. \] \(X,Y,Z\) sind gegebene Funktionen von \((x,y,z)\) im Bereiche \(\sigma\), und \(k\) ist eine dem elastischen Medium angehörige Konstante. Wenn man den Funktionen \(X,Y,Z,\overline{u},\overline{v},\overline{w}\) und ihren Ableitungen gewisse Stetigkeitsbedingungen vorschreibt, läßt sich leicht beweisen, daß\ das obige Problem ein einziges System von Lösungen hat, wenn (3) \(-1<k<\infty\); aber die allgemeinen Beweise für die Existenz der Lösungen sind noch nicht mit völliger Strenge erbracht worden. \textit{Lauricella} (1894, 1899, 1905) sowie \textit{E.} und \textit{F. Cosserat} (1898, 1901) haben sehr wohl erkannt, daß\ die Methode der sukzessiven Annäherungen der zur Auffindung der Lösungen angezeigte Weg ist; allein die Konvergenz der Reihen, durch welche die Lösungen dargestellt werden, ist noch nicht mit genügender Strenge bewiesen worden. Die vorliegende Arbeit soll diese Lücke ausfüllen. Nachdem in Kap. I und II eine Anzahl neuer Sätze bewiesen sind, die übrigens ganz interessante Anwendungen auch in anderen Gebieten der Mathematik gestatten, wird in Kap. III die vollständige Lösung des gestellten Problems gegeben. Die dynamischen Gleichungen der Elastizität werden in der Abhandlung nicht explizit behandelt; der Verf. beschränkt sich darauf, das Resultat auszusprechen, welches aus seiner Lösung des Gleichgewichtsproblems über die Schwingungen eines elastischen Körpers hergeleitet werden kann, dessen Oberfläche in Ruhe bleibt (Münch. ber. 36, 37-80, 351-401; F. d. M. 37, 824, 1906, JFM 37.0824.02). Nach einem Verfahren, das demjenigen analog ist, welches \textit{Poincaré} in seiner berühmten Abhandlung benutzt: ``Sur les équations de la Physique mathématique'' (1894), läßt sich die Existenz unendlich vieler Konstanten \(\lambda_{j}\) und Funktionentripel \((U_{j},V_{j},W_{j})\) beweisen, die nebst ihren ersten Ableitungen in \(\tau\) stetig sind, den Gleichungen genügen: \[ (4) \quad \quad \varDelta U_{j}+k\;\frac{\partial\varTheta_{j}}{\partial x}+\lambda_{j}^{2}U_{j}=0, \quad \varDelta V_{j}+k\;\frac{\partial\varTheta}{\partial y}+\lambda_{j}^{2}V_{j}=0, \] \[ \varDelta W_{j}+k\;\frac{\partial\varTheta_{j}}{\partial z}+\lambda_{j}^{2}W_{j}=0, \] \[ (5) \quad \varTheta_{j}=\frac{\partial U_{j}}{\partial x}+\frac{\partial V_{j}}{\partial y}+\frac{\partial W_{j}}{\partial z}, \quad (6) \quad \int_{\tau}(U_{j}^{2}+V_{j}^{2}+W_{j}^{2})d\tau=\varDelta \] und an der Oberfläche verschwinden, wenn \(k\) eine feste Zahl ist, die der Ungleichheit \(-1<k<\infty\) genügt. Jedes Tripel von Funktionen \(u,v,w\), die an der Oberfläche verschwinden und nebst ihren ersten und zweiten Ableitungen stetig sind, kann wie folgt in Reihen entwickelt werden: \[ (7) \quad \quad \begin{cases} u=C_{1}U_{1}+C_{2}U_{2}+\cdots, &C_{j}=\int_{\tau}(uU_{j}+v V_{j}+w W_{j})d\tau, \\ v=C_{1}V_{1}+C_{2}+\cdots, \\ w=C_{1}W_{1}+C_{2}W_{2}+\cdots, & 0<\lambda_{1}^{2}<\lambda_{2}^{2}<\cdots, \end{cases} \] und diese Gleichungen lassen sich zur Integration der dynamischen Elastizitätsgleichungen verwerten: \[ (8) \quad \quad \varDelta u+k\;\frac{\partial\theta}{\partial x}=\sigma^{2}\;\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-X, \quad \text{usw}., \quad \theta=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}, \] in den Fällen, wo man an der Oberfläche \(\sigma\) annimmt \((9) \quad u=v=w=0\), indem man mit \(k\) und \(\sigma^{2}\) Konstanten des elastischen Mediums bezeichnet, mit \(X,Y,Z\) Funktionen, die im Innern von \(\tau\) gegeben sind und gewissen Stetigkeitsbedingungen genügen. Die Folgerungen aus den Entwickelungen (7) werden nicht betrachtet; der Verf. beschränkt sich auf den Beweis der Existenz der elastischen Tripel \((U_{j},V_{j},W_{j})\) und der Möglichkeit der Entwicklungen (7). -- In den Kapiteln I u. II werden mehrere der allgemeinen Potentialtheorie angehörige Sätze gegeben, die sich bei der Lösung des Problems des elastischen Gleichgewichts als sehr nützlich erweisen.