Applicazione della teoria di \textit{Fredholm} al problema del raffreddamento dei corpi. (Q1496127)

In der Abhandlung ``Sur quelques applicazione de l'équation foncionnelle de \textit{M. Fredholm}'' (Palermo Rend. 22, 241-259; F. d. M. 37, 362, 1906, JFM 37.0362.01) integriert \textit{Picard} die Gleichungen für die Schwingungen einer Membran, indem er die \textit{Green}sche Funktion einführt und die bekannte \textit{Fredholm}sche Theorie der Integralgleichungen benutzt; er folgt hierbei dem Vorbilde von \textit{Hilbert} bei analogen Fragen und findet mit bemerkenswerter Schnelligkeit und Einfachheit solche Resultate, die vorher nur mittels der Anwendung des bekannten \textit{Poincaré}schen Lemmas gefunden waren. Die Ausdehnung der \textit{Picard}schen Betrachtungen auf das Problem der Abkühlung der Körper ist, ferner daß\ die \textit{Green}sche Funktion und einige aus ihr fließende rekurrente Formeln verallgemeinert sind. Eine neue und elegante Lösung des Problems der stationären Temperaturen als Anwendung der \textit{Fredholm}schen Resultate findet man in der angeführten Arbeit von \textit{Picard}. Die Verallgemeinerung der \textit{Green}schen Funktion und der erwähnten rekurrenten Formeln kann nach dem Vorgange von \textit{Liapunof} geschehen (Journ. de Math. (5) 4, 243-311; F. d. M. 29, 723, 1898, JFM 29.0723.02). Um die dabei entstehenden Schwierigkeiten zu vermeiden und um die \textit{Neumann}sche Methode, wie \textit{Poincaré} dies getan hatte, auf nicht konvexe Gebiete auszudehnen, hat sich der Verf. in der Abhandlung: Sull' integrazione dell' equazione della propagazione del calore (Mem. dei XL (3) 12, 123-249; F. d. M. 34, 987, 1903, JFM 34.0987.02) ausschließlich der \textit{Neumann}schen Methode bedient und von der \textit{Green}schen Funktion und ihren Verallgemeinerungen keinen Gebrauch gemacht. In der vorliegenden Arbeit werden durch Anwendung einer geeigneten Integralgleichung die bekannten Ergebnisse \textit{Poincarés} über die Abkühlung der Körper hergeleitet, und zwar unabhängig von dem Problem der stationären Temperaturen, non dem \textit{Poincaré}schen Lemma, von der \textit{Green}schen Funktion und von ihren Erweiterungen. Die betrachteten konvexen oder nicht konvexen Oberflächen sind ebenso allgemein wie die, für welche das \textit{Dirichlet}sche Problem mit der \textit{Fredholm}schen Methode gelöst wird (vgl. S. 801 dieses Bandes (JFM 38.0801.01)). Die Ausdehnung der \textit{Poincaré}schen Resultate auf nicht konvexe Gebiete ist neuerdings der Gegenstand verschiedener wichtiger Arbeiten gewesen (vgl. \textit{Stekloff}, F. d. M. 36, 976, 1905); allein die zu diesem Behufe ersonnenen Methoden sind nicht gerade einfach und hängen außerdem von dem \textit{Poincaré}schen Lemma ab. Dieses Lemma ist zwar auf nicht konvexe Gebiete ausgedehnt worden (\textit{Korn}, Abhandlungen zur Potentialtheorie, IV; F. d. M. 32, 773, 1901, JFM 32.0773.01. -- \textit{E. E. Levi}, F. d. M. 37, 787, 1906, JFM 37.0787.02), jedoch mit einigen Einschränkungen über die Natur der das Feld begrenzenden Oberfläche und nicht mit der Allgemeinheit, die, wie hier gezeigt wird, bei Anwendung der \textit{Fredholm}schen Theorie erzielt wird.