Sul teorema fondamentale dell' algebra. (Q1496551)

Durch die Gleichung \(f(x)=y\), in welcher \(f(x)\) eine ganze rationale Funktion \(n\)-ten Grades bezeichnet, wird jedem Punkte der \(x\)-Ebene ein einziger bestimmter Punkt der \(y\)-Ebene zugeordnet. Um nun zu zeigen, daß auch jedem Punkte der \(y\)-Ebene Punkte der \(x\)-Ebene entsprechen, werden der Reihe nach folgende Sätze bewiesen: 1. Wenn \(|f(\alpha )|>0\) und wenn in der \(x\)-Ebene in einer hinreichend kleinen Umgebung von \(\alpha\) eine geschlossene Kurve \(C_x\) ohne Knotenpunkte beschrieben wird, die den Punkt \(\alpha\) einschließt, so entspricht ihr in der \(y\)-Ebene eine geschlossene Kurve \(C_y\) welche den Punkt \(\beta =f(\alpha )\) einschließt. 2. Wenn \(|f(\alpha )|>0\), so gibt es in einer beliebigen Umgebung von \(\alpha\) unendlich viele Punkte \(x\), für die \(|f(x)|<|f(\alpha )|\), und unedlich viele andere, für die \(|f(x)|>|f(\alpha )|\), und auch stets solche, für welche \(|f(x)|=|f(\alpha )|\). 3. Wenn irgend einem Punkte eines um den Nullpunkt in der \(y\)-Ebene geschlagenen Kreises ein Punkt in der \(x\)-Ebene entspricht, so gilt dasselbe auch von jedem andern Punkte dieses Kreises. Aus dem letzten Satze und der Tatsache, daß \(|f(x)|\) eine stetige Funktion von \(x\) ist, folgt das zu beweisende Theorem.