Criteria for the irreducibility of functions in a finite field. (Q1496555)

1. Eine notwendige Bedingung, daß \(f(x)=x^m+c_1x^{m-1}+\dotsm +c_m\) in dem \(GF[p^n],p>2\), irreduzibel sei, ist die, daß ihre Diskriminante ein Quadrat oder ein Nichtquadrat ist, je nachdem \(m\) ungerade oder gerade ist. 2. Die notwendige und hinreichende Bedingung, daß eine kubische Gleichung eine und nur eine Wurzel in dem \(GF[p^n],p>2\), habe, ist die, daß ihre Diskriminante ein Nichtquadrat ist. 3. Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, daß \(x^3+\beta x+b=0\) in dem \(GF[p^n],p>3\), irreduzibel sei, sind die folgenden zwei: \[ R\equiv -4\beta^3-27b^2=\text{ Quadrat in }GF[p^n],\text{ oder }R=81\mu^2, \] \[ \frac 12(-b+\mu\sqrt{-3})=\text{ Nichtkubus in }(GF[p^n],\sqrt{-3}). \] Aus diesen Sätzen leitet der Verf. dann noch eine Reihe einzelner Folgerungen für kubische Gleichungen ab. Bezüglich der biquadratischen Gleichung \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\) ergibt sich zunächst, daß, wenn sie in dem \(GF[p^n]\) irreduzibel ist, ihre kubische Resolvente eine einzige Wurzel in dem Felde besitzt. Ferner folgt das Theorem: Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, daß jene biquadratische Gleichung, bei der nicht \(c=\frac 12ab-\frac 18a^3\) ist, in dem \(GF[p^n],p>2\), irreduzibel sei, sind die, daß die kubische Resolvente eine und nur eine Wurzel \(y_1\) in dem \(GF[p^n]\) habe, und daß \(a^2-4b+4y_1\) ein Nichtquadrat sei. Ist dagegen \(c=\frac 12ab-\frac 18 a^3\), so ist die Gleichung irreduzibel in dem \(GF[p^n],p>2\), wenn und nur wenn \((\frac 12b-\frac 18a^2)^2-d\) und \(\frac 5{16}a^4-a^2b+16d\) Nichtquadrate sind.