Über mehrfache Vektoren und ihre Produkte sowie deren Anwendung in der Elastizitätstheorie. (Q1496607)

Der Verfasser ordnet einer binären quadratischen Form einen Vektor zu, dessen Länge durch die Diskriminante der Form bestimmt wird, und einer Form \(2^n\)-ter Ordnung, entsprechend ihren Zerlegungen in quadratische Faktoren, ein System von \(n\)-fachen Vektoren oder Vielbeinen \(n\)-ten Grades. Ein \(n\)-fachen Vektor besteht aus \(n\) gleichlangen Vektoren, seinen Beinen, die von einem Punkte \(O\) ausgehen. Zwei \(n\)-Beine, die sich nur in einer geraden Anzahl von Richtungen ihrer Teilbeine unterscheiden, sind als gleich anzusehen. Von der Addition ihrer Formen ausgehend, wird eine Addition der Vielbeine definiert, welche die formalen Gesetze der algebraischen Addition befolgt. Die Überschiebungen der Formen zweier Vielbeine liefern neue Vielbeine, die als Produkte der gegebenen Vielbeine bezeichnet werden. In der Tat führt die erste Überschiebung der binären quadratischen Formen \(\mathfrak{ a, b}\) zu dem Vektorprodukt, die zweite Überschiebung zu dem skalaren Produkt der Vektoren \(\mathfrak{ a, b}\). Hiernach behandelt der Verfasser das volle System eines Zweibeins und das daraus abgeleitete System seiner invarianten Vielbeine, sowie die Beziehungen seiner Konstanten zu den Wurzeln der kubischen Resolvente \(4e^3-g_2e-g_3=0\) seiner biquadratischen Form. Es folgt die Untersuchung der möglichen vektorischen Produkte eines Vektors \(\mathfrak a 1.\) mit einem Skalar, 2. mit einem anderen Vektor \(\mathfrak u\) und 3. mit einem Zweibein. Diese Produkte bestimmen eine Affinität des Vektorraumes, die dem Vektor \(\mathfrak a\) den Vektor \(\mathfrak a'\) zuweist, oder -- um mit \textit{Gibbs-Wilson} zu reden -- eine Dyadik oder lineare Vektorfunktion; nur dieser kann ein System von Vielbeinen zugeordnet werden, das aus einem Skalar, einem Vektor und einem Zweibein besteht. Dabei ist der Vektor \(\mathfrak a'\) die Summe der genannten vektorischen Produkte von \(\mathfrak a\) mit diesen Vielbeinen. Ein solcher Vektor \(\mathfrak a'\) läßt sich nun einer unendlich kleinen Deformation zuordnen, die demnach in drei Teile zerfällt; und zwar bestimmen der Skalar und der Vektor \(\mathfrak u\) die Dilatation und die Rotation des Volumenelements, während das Zweibein denjenigen Teil der Deformation bestimmt, der allein eine Gestaltsveränderung des Volumenelements hervorruft. Hiernach ergibt sich das interessante Resultat, daß die binären Operationen der nullten, ersten und zweiten Überschiebung einer quadratischen Form mit einer Form nullter, zweiter und vierter Ordnung die einzelnen Teile der Deformatioin, nämlich reine Dilatation, Rotation und Scherung des Volumenelements, vollständig charakterisieren. Zum Schluß wendet der Verfasser seine Betrachtungen an auf die Theorie der Elastizität eines anisotropen Mediums. Er findet, daß sich jedem Punkte eines solchen Mediums ein System von fünf elastischen Vielbeinen zuordnen läßt, bestehend aus einem Vierbein, zwei Zweibeinen und zwei Skalaren, welche, wenn sie allgemein und von einander unabhängig sind, die 21 elastischen Konstanten liefern. Insbesondere werden automorphe elastische Systeme untersucht, die sich aus einem Vierbein und zwei Zweibeinen zusammensetzen, deren Gruppe daher nur aus Rotationen und Drehspiegelungen besteht.