Su alcune proporietà dei moduli di forme algebriche. (Q1496627)

\textit{E. Lasker} (''F. d. M. 36, 292, 1905, siehe JFM 36.0292.01 u. JFM 36.0292.02'') hat die ganze arithmetische, durch \textit{Kronecker} begründete Theorie der Formenmoduln in sehr einfacher Weise aufgebaut. Als grundlegend erscheinen bei ihm Eigenschaften der Resultante von \(m\) Formen in \(m\) Variabeln, und diese führen zu den beiden wichtigen Sätzen über Moduln: 1. ``Besitzen die \(r+1\) Formen \(F_0(x_0,\dots ,x_r)\), \(F_1\), \dots, \(F_r\), von den Ordnungen \(n_0,n_1,\dots ,n_r\), keine gemeinsamen Nullstellen, so gehört jede Form von einer Ordnung \(\geq n_0+n_1+\dotsm +n_r-r\) dem Modul \((F_0,F_1,\dots ,F_r)\) an, d. h. sie läßt sich als lineare Kombination der \(F\) darstellen mit Koeffizienten, die selbst Formen der \(x\) sind''. 2. ``Besitzen die \(h+1\) \((h\leq r)\) Formen \(\varPhi (x_0,\dots ,x_r),F_1,\dots ,F_h\) nur \(\infty^{r-h-1}\) gemeinsame Nullstellen, und gehört das Produkt aus \(\varPhi\) mit einer willkürlichen Form \(F\) dem Modul \((F_1,\dots ,F_h)\) an, so ist das auch mit \(F\) selbst der Fall.'' Der letztere Satz läßt sich als Ausdehnung des Satzes aus der gewöhnlichen Arithmetik ansehen, wonach das Verschwinden des Produktes zweier Zahlen das Verschwinden von wenigstens einem der Faktoren nach sich zieht. Der Verfasser beweist die beiden genannten Sätze, indem er sich auf die Resultate einer früheren Arbeit (F. d. M. 33, 128, 1902, JFM 33.0128.01) stützt, unter Heranziehung elementarer Eigenschaften der linearen Systeme von Formen. Als Ausgang dient die Erweiterung eines Satzes von \textit{Bertini} (F. d. M. 14, 433, 1882, JFM 14.0433.02) auf nicht lineare Räume: Existiert auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit \(V_k\) ein lineares \(\infty^t\)-System von \(V_{k-1}\), so besitzt die erzeugende Mannigfaltigkeit dieses Systems keine von den Basispunkten und den vielfachen Punkten von \(V_k\) verschiedenen vielfachen Punkte. Hieraus läßt sich der Satz ableiten: Sind \(F_1=0\), \(F_2=0\), \dots, \(F_h=0\) \((h<r+1)\) Flächen des \(S_r\), von den Ordnungen \(n_1,n_2,\dots ,n_h\) \((n_1\geq n_2\geq \dotsm\geq n_h)\), die sich in einer auch vielfacher Teile fähigen \(V_{r-h}\) schneiden, so lassen sich \(h-1\) Flächen \(F_1'=0\), \(F_2'=0\), \dots, \(F_{h-1}'=0\) von den Ordnungen \(n_1,n_2,\dots ,n_{h-1}\) derart auswählen, daß sie sich in einer von vielfachen Teilen freien \(V_{r-h+1}\) schneiden, und daß die Moduln \((F_1,F_2,\dots ,F_h)\), \((F_1',F_2',\dots ,F_{h-1}',F_h)\) identisch sind. Damit läßt sich der Fall vielfacher Teile zurückführen auf den Normalfall, wo solche Teile nicht auftreten. Der Beweis ist leicht für \(h=2\), und wird dann durch vollständige Induktion geführt. Aus diesem Satze folgen zwei etwas modifizierte Sätze von \textit{Lasker} (a. a. O.): 1. Ist die Resultante der \(r+1\) Formen \(F_0,F_1,\dots ,F_r\) der \(x_0,\dots ,x_r\), mit den Ordnungen \(n_0,n_1,\dots ,n_r\), von Null verschieden, so gehört jede Form \(F\) der \(x\) von einer Ordnung \(l\geq n_0+n_1+\dotsm +n_r-r\) dem Modul \((F_0,F_1,\dots ,F_r)\) an. 2. Besitzen die Formen \(F_1,\dots ,F_h\) der \(x_0,\dots ,x_r\) \((h\leq r)\) nur \(\infty^{r-h}\) gemeinsame Nullstellen von beliebiger Beschaffenheit, und sind \(F,\varPhi\) zwei solche Formen, daß das Produkt \(\varPhi F\) dem Modul \((F_1,\dots ,F_h)\) angehört, und überdies \(\varPhi\) nur \(\infty^{r-h-1}\) Nullstellen mit den \(F_1,\dots ,F_h\) gemein hat, so gehört die Form \(F\) dem Modul \((F_1,\dots , F_h)\) an. Hierauf berucht wiederum der Beweis des folgenden Satzes: Besitzen die Formen \(F_1,\dots ,F_h\) der \(x_0,\dots ,x_r\) \((h\leq r+1)\) der Ordnungen \(n_1,n_2,\dots ,n_h\) nur \(\infty^{r-h}\) gemeinsame Nullstellen, und bedeuten die \(X_1,\dots ,X_h\) unbekannte Formen der Ordnungen \(l-n_1,l-n_2,\dots ,l-n_h\), so ist jede Lösung der diophantischen Gleichung \(X_1F_1+\dotsm +X_hF_h=0\) von dem Typus: \(X_i=p_{i_1}F_1+\dotsm +p_{i_h}F_h\), wo die \(p\) beliebige Formen (passender Ordnungen) sind, die den Bedingungen \(p_{ii}=0\), \(p_{ij}=-p_{ji}\) genügen. Der Satz ist wiederum augenscheinlich für \(h=2\) und wird dann durch vollständige Induktion bewiesen. Mit Hülfe der Definition: die Flächen \(F_1=0\), \dots, \(F_h=0\) \((h\leq r)\) bieten in einem gemeinsamen Punkte \(P\) den ``einfachen Fall'' dar, wenn sich ihre Tangentenkegel in \(P\) in einem Kegel von \(r-h\) (und nicht mehr) Dimensionen schneiden, ergeben sich dann die beiden eingangs erwähnten Sätze.