Über die reellen Darstellungen der endlichen Gruppen. (Q1496654)

Die (absolut) irreduziblen Darstellungen einer beliebigen Gruppe lassen sich in drei Arten teilen: 1. solche, die einer reellen Darstellung äquivalent sind, 2. solche, die der konjugiert komplexen, aber keiner reellen Darstellung äquivalent sind, 3. solche, die der konjugiert komplexen Gruppe nicht äquivalent sind (\(\S\) 2 der vorstehend besprochenen Abhandlung). Bei einer Beschränkung auf vollständig zerlegbare Gruppen ist demnach eine solche stets und nur dann einer reellen Gruppe äquivalent, wenn jeder irreduzible Bestandteil zweiter Art in gerader Anzahl und jeder der dritten Art ebenso oft wie der konjugiert komplexe auftritt. Eine irreduzible Darstellung einer endlichen Gruppe \(\mathfrak H\) ist durch ihren Charakter \(\chi\) vollständig definiert. Die Kenntnis von \(\chi\) reicht aber auch aus, um die Art der entsprechenden Darstellung zu bestimmen. Setzt man nämlich \(c=+1\), \(-1\) oder 0, je nachdem die Darstellung zu der ersten, zweiten oder dritten Art gehört, so ist \(\sum_R\chi (R^2)=ch\), wo sich die Summe über die \(h\) Elemente \(R\) der Gruppe \(\mathfrak H\) erstreckt, oder anders ausgedrückt: die \(k\) Konstanten \(c_{\chi}\), die den \(k\) Charakteren \(\chi^{(\chi )}\) entsprechen, sind dadurch bestimmt, daß \(\sum {}_{\chi}c_{\chi} \chi^{(\chi )}(R)=\zeta (R)\) die Anzahl der Lösungen \(S\) der Gleichung \(S^2=R\) in \(\mathfrak H\) ist. Die endlichen Gruppen gehören zu der allgemeineren Klasse von Gruppen linearer Substitutionen, die eine positive \textit{Hermite}sche Form \(F\) in sich transformieren, die ``\textit{Hermite}sche Gruppen'' von den Verff. genannt werden. Wenn es eine bilineare Form \(G\) gibt, die von den Substitutionen einer irreduziblen Gruppe (kongredient) in sich transformiert wird, so ist \(G\) bis auf einen konstanten Faktor völlig bestimmt. Für eine Gruppe der dritten Art kann es eine solche Form nicht geben. Für eine \textit{Hermite}sche Gruppe der ersten oder zweiten Art aber gibt es stets eine solche Form, und zwar ist sie für die Gruppen der ersten Art symmetrisch, für die der zweiten alternierend. Unter Benutzung der oben definierten Konstanten \(c\) ist also allgemein die zu \(G\) konjugierte Form \(G'=cG\). Ganz allgemein aber gilt auch für reduzible Gruppen der Satz: Wenn die Substitutionen einer \textit{Hermite}schen Gruppe eine quadratische Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren, so ist die Gruppe einer reellen (orthogonalen) äquivalent. Umgekehrt transformieren die Substitutionen einer reellen \textit{Hermite}schen Gruppe stets eine positive quadratische Form in sich. Demnach ist die Gruppe einer reellen orthogonalen äquivalent; speziell: jede endliche Gruppe orthogonaler Substitutionen ist einer reellen (orthogonalen) Gruppe äquivalent. Die \textit{Hermite}schen Gruppen, deren Substitutionen eine alternierende Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren, sind vollständig dadurch charakterisiert, daß sie jeden irreduziblen Bestandteil erster Art in gerader Anzahl enthalten und jeden der dritten Art ebenso oft wie den konjugiert komplexen. Hierdurch wird eine Betrachtung von \textit{Autonne} (F. d. M. 33, 132, 1902, JFM 33.0132.03) wesentlich ergänzt. Die vorliegenden Untersuchungen beschränken sich auf die Betrachtung endlicher Gruppen. Als allgemeines Ergebnis ist in der der Abhandlung vorangehenden Übersicht angegeben: Eine endliche Gruppe linearer Substitutionen ist stets und nur dann einer reellen Gruppe äquivalent, wenn ihre Substitutionen eine quadratische Form von nicht verschwindender Determinante in sich transformieren.