Die symbolische Exponentialformel in der Gruppentheorie. (Q1496698)

Ein Teil der in dieser Arbeit enthaltenen Resultate ist zwar, ohne daß der Verf. es wußte, schon früher von \textit{H. F. Baker} veröffentlicht worden (F. d. M. 36, 225, 1905, JFM 36.0225.01), doch erscheint bei \textit{Hausdorff} alles in so viel klarerer und durchsichtigerer Form, daß die \textit{Baker}sche Arbeit dadurch in der Hauptsache entbehrlich geworden ist. Im ersten Abschnitte seiner Abhandlung entwickelt der Verf. einen Kalkül, der sich ergibt, wenn man die bekannten Formeln für die Erzeugung eingliedriger Gruppen durch infinitesimale Transformationen rein formell betrachtet, losgelöst von dem Begriffe der infinitesimalen Transformation; er erreicht dadurch namentlich den großen Vorteil, daß alle Konvergenzfragen vorläufig außer Betracht bleiben. Er geht aus von einer endlichen Zahl von Symbolen \(x,y,z,\dots\), bei denen die Gesetze der Addition und Multiplikation gültig sind, nur nicht das kommutative Gesetz der Multiplikation, so daß also die allgemeinste, z. B. aus \(x,y\) bildbare Potenzreihe die Form: \[ \sum_1^{\infty}{}_i\,(\alpha_ix^i+\beta_iy^i)+\sum_{i,k}^{1\dots\infty} (\alpha_{ik}x^iy^k+\beta_{ik}y^ix^k) \] besitzt, unter den \(\alpha ,\beta\) Zahlen verstanden. Zwei Glieder von verschiedener Ordnung in \(x,y\) stehen dabei einander ebenso gegenüber, wie der reelle und der imaginäre Teil einer komplexen Zahl. Ersetzt man hier z. B. \(y\) durch \(y+z\), wo \(z\) ein neues Symbol bedeutet, so erhält man für den entstehenden Ausdruck eine \textit{Taylor}sche Entwicklung nach Potenzen von \(z\). Ferner wird rein formell der Klammerausdruck oder die Alternante \((xy)=xy-yx\) eingeführt, für den die \textit{Jacobi}sche Identität: \(((xy)z)+((yz)x)+((zx)y)=0\) gilt. Setzt man nun \(e^z=e^x\cdot e^y\), wo \(e^x\) die bekannte Reihe bedeutet, so läßt sich beweisen, daß diese Gleichung für \(z\) dadurch befriedigt werden kann, daß man für \(z\) eine Potenzreihe von \(x,y\) setzt, deren Glieder, von Zahlenfaktoren abgesehen, aus \(x\) und \(y\) durch alleinige Anwendung der Klammeroperation entstehen. Bemerkenswert sind dabei die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, denen \(z\) als Funktion von \(x,y\) genügt, und die zur Ableitung dieses Ergebnisses dienen. Sie sind in etwas anderer Form auch in meinem vorhin erwähnten Referate über die \textit{Baker}sche Abhandlung enthalten; nur bleibt dort immer die Frage ihrer Konvergenz offen, die bei \textit{Hausdorff} hier ganz außerm Spiele bleiben kann. Wendet man nun diesen Satz auf den Fall an, daß man \(r\) Symbole \(t_1,\dots ,t_r\) hat, die durch keine lineare homogene Relation mit gewöhnlichen Zahlen als Koeffizienten verknüpft sind, für die aber gewisse Strukturgleichungen: \[ (t_it_k)=\sum_{s=1}^rc_{iks} t_s \] gelten, die den Gleichungen \(c_{iks}+c_{kis}=0\) und den aus der \textit{Jacobi}schen Identität folgenden Relationen genügen, setzt man ferner: \(x=\sum\xi_kt_k\), \(y=\sum\eta_kt_k\), wo die \(\xi_k,\eta_k\) Zahlen sind, so erhält man aus \(e^z=e^xe^y\) für \(z\) einen Wert: \(z=\sum\zeta_kt_k\), wo die \(\zeta_k\) als Funktionen der \(\xi_k,\eta_k\) in einer gewissen Umgebung von \(\xi_k=\eta_k=0\) definiert sind; man erhält ferner für die Glieder der \(\zeta_k\), die in den \(\xi_k\) (oder den \(\eta_k\)) von erster Ordnung sind, einfache Ausdrücke, entweder als Potenzreihen von beschränkter Konvergenz oder als Quotienten von beständig konvergenten Potenzreihen usw. Ersetzt man jetzt die Symbole \(t_1,\dots ,t_r\) durch \(r\) unabhängige infinitesimale Transformationen irgend eines Raumes, so erthält man mit einem Schlage die bekannten Formeln für die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppen, für die kanonische adjungierte Gruppe usw., und zugleich naturgemäße Beweise für den zweiten und den dritten \textit{Lie}schen Fundamentalsatz in der Theorie der \(r\)-gliedrigen Gruppen. Erwähnt sei noch eine durch die Zusammensetzung einer \(r\)-gliedrigen Gruppe bestimmte lineare homogene Gruppe, in der die adjungierte Gruppe enthalten ist. Der Verf. gelangt zu dieser Gruppe am Schlusse seiner Arbeit (S. 47 f.), doch bleibt ihre eigentliche Bedeutung vorläufig noch unerklärt.