Über die Determinante von \textit{Wronski}. (Q1496734)

Bezeichnen \(u_1,u_2,\dots ,u_k\) Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen \(t\), so betrachtet der Verf. die Unterdeterminanten der \textit{Wronski}schen Determinante \[ \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & \dots & u_{\chi} \\ u_1' & u_2' & \dots & u_{\chi}' \\ . & . & \dots & . \\ u_1^{(\chi -1)} & u_2^{(\chi -1)} & \dots & u_{\chi}^{(\chi -1)} \end{vmatrix} \] und kommt zu einem allgemeinen Satz, der in dem Fall der Unterdeterminanten zweiter Ordnung \(u_{l,m}=\begin{vmatrix} u_l & u_m \\ u_1' & u_m' \end{vmatrix} \) so lautet: Ist für jeden Wert von \(l\) und \(m\) an der Stelle \(t=t_0u_l=u_l'=\dotsm =u_l^{(r-1)}=0,u_l^{(r)} \neq 0\) und \(u_{l,m}=u_{l,m}'=\dotsm =u_{l,m}^{(s-1)}=0,u_{l,m}^{(s)} \neq 0\) so muß \(s\geq 2r\) sein und gleichzeitig bei ebenfalls beliebigen Wertepaaren \(l,m\) an dieser Stelle das Gleichungssystem bestehen: \[ \begin{matrix} a_1u_l^{(r)} & + & b_1u_m^{(r)} & =0, \\ a_1u_l^{(r+1)} & + & b_1u_m^{(r+1)} & =0, \\ . & . & . & . \\ a_1u_l^{(s-r+1)} & + & b_1u_m^{(s-r+1)} & =0, \end{matrix} \] wo \(a_1,b_1\) von Null verschieden sind und von den Zahlen \(l,m\) abhängen.