Die Resultante binärer Formen. (Q1496737)

Bekannt ist die \textit{Bézout}sche Gestalt der Resultante \(R_{f,\varphi}\) zweier Binärformen \(f^{(m+1)}(x)\), \(\varphi^{(m+1)}(x)\) als Determinante von \(m+1\) Reihen. Sodann hat der Verf. (F. d. M. 3, 59, 1871, JFM 03.0059.01) einfachere Methoden angegeben, um nicht nur \(R_{f,\varphi}\), sondern auch die Kovariante \(p\), deren Verschwinden aussagt, daß \(f\) und \(\varphi\) mehr als eine Wurzel gemein haben, als symbolische Produkte darzustellen. Geschlossene Ausdrücke haben \textit{E. Pascal} und \textit{E. Waelsch} aufgestellt (F. d. M. 19, 119, 1887, JFM 19.0119.03; 36, 237, 1905, JFM 36.0237.02). In dieser Arbeit werden Überschiebungen abgeleitet, durch die sich \(R_{f,\varphi}\) und \(p\) ausdrücken lassen. Aus \(f\) und \(\varphi\) bestimme man die Formen \(h_{\nu\sigma}\) mittels der Formen \[ h_{1,2\varrho}=\frac {(m+1)^2}{(m+1-\varrho )(2\varrho +1)}(f,\varrho )^{2\varrho +1},\quad h_{\mu +\nu ,\sigma}=\sum_{\chi\lambda} (m\sigma\chi\lambda )(h_{\mu\chi},h_{\nu\lambda})_{m+\sigma-\chi-\lambda}, \] wo \((m\sigma\chi\lambda )\) ein gewisses, aus Binomialkoeffizienten gebildetes Aggregat bedeutet. Ist ferner \(h_{\nu 0}=l_{\nu}\), \(h_{\nu m}=g_{\nu}\), so bestimme man \(\varDelta_{\nu}\) als eine Form der \(g\) durch \[ \varDelta_{\nu}=\sum (-1)^{\nu -\sum_{\sigma}k_\sigma}\frac {\nu !}{k_1!k_2!\dotsm k_{\nu}!1^{k_1}2^{k_2}\dotsm \nu^k} g_1^{k_1}g_2^{k_2}\dotsm g_{\nu}^{k_{\nu}} ; \] dann lauten die gesuchten Darstellungen der Resultante \(R_{f,\varphi}\), sowie der Kovariante \(p\) mittels Überschiebungen: \[ \begin{multlined} C_m\varDelta_{m+1} =(m+1)!R_{f,\varphi}, \\ \delta R=p=C_m[l_m-\varDelta_1l_{m-1}+\frac 1{2!}\varDelta_2l_{m-2}-\dotsm +\frac {(-1)^{m-1}}{(m-1)!} \varDelta_{m-1}l_1]. \end{multlined} \] Dabei ist \(C_m=\varPi_{i=1}^m\left( \begin{matrix} m \\ i \end{matrix} \right)\) und unter \(\delta\) ist der \textit{Aronhold}sche Prozeß zu verstehen. Als Anwendung werden die Resultanten von Formen bis zum sechsten Grade explizite entwickelt. Da die 36 Seiten umfassende Abhandlung fast nur Formeln enthält, müssen wir uns begnügen, einige Hauptmomente des Beweises anzuführen. Die Elemente \(c_{ik}\) der \textit{Bézout}schen Determinante sind die Koeffizienten der \textit{Cayley}schen Fundamentalkombinante \(a_y^{m+1}b_x^{m+1}-b_y^{m+1}a_x^{m+1}=r_y^ms_x^m(yx).\; R\) selbst läßt sich durch die Determinante \(\varDelta_{m+1}\) der symbolischen Potenzen \((r_is_k)^m\) ausdrücken. Die Unterdeterminanten \(\gamma_{ik}=\frac {\partial R}{\partial c_{ik}}\) hängen nur von der Summe der Indizes ab und können daher mit \(\gamma_{i+k}\) bezeichnet werden. Der \textit{Aronhold}sche Prozeß \(\delta c_{ik}=(-1)^{i+k}\left( \begin{matrix} m \\ i \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} m \\ k \end{matrix}\right) \xi_1^{2m-i-k}\xi_2^{i+k}\) führt \(R\) in die obige Kovariante \(p=p_{\xi}^{2m}\) über. Haben \(f,\varphi\) nur einen linearen Faktor \(\alpha\) gemein, so wird \(p=\alpha^{2m}\); \(p\) verschwindet dagegen, wenn \(f,\varphi\) einen höheren Faktor gemein haben. Von den Kovarianten der Fundamentalkombinanten werden nur die \(h_{\nu}(yx)=(rs_1)^m(r_1s_2)^m\dots (r_{\nu -2}s_{\nu -1})^mr_{\nu -1,y}^ms_x^m\) verwendet, deren erste, \(h_1(yx)\), sie selbst ist. Diese \(h_{\nu}\) lassen sich in Polarenreihen entwickeln. Die \(h_{\nu ,\sigma}\) sind die Elementarkovarianten von \(h_{\nu}\); man setze im besonderen \(h_{\nu 0}=l_{\nu}\), \(h_{\nu m}=g_{\nu}\), wo der \textit{Aronhold}sche Prozeß die \(g\) in die \(l\) überführt. Im ersten Kapitel wird unter Zugrundelegung des Prozesses \(\varOmega =\frac {\partial^2}{\partial x_1\partial y_2}-\frac {\partial^2}{\partial x_2\partial y_1}\) die Form \(r_x^ms_y^n\) nach Überschiebungen entwickelt; insbesondere wird der symmetrische und der alternierende Fall hervorgehoben, die zu weiteren Polarenreihen Veranlassung geben. Im zweiten und dritten Kapitel werden die obigen \(C_{m\sigma\chi\lambda}\) als Entwicklungskoeffizienten einer gewissen Kovariante eingeführt und für eine große Zahl besonderer Fälle ausgerechnet. Im vierten Kapitel spielt die Form \(N=(rS)^mR_y^ms_x^m\), eine simultane Kovariante der Formen \(L=r_y^ms_x^m\), \(M=R_y^mS_x^m\), die Hauptrolle. Die Elementarkovarianten dieser drei Formen werden als Aggregate von Überschiebungen dargestellt, wobei verschiedene Unterfälle eintreten. Das fünfte Kapitel ist einer eingehenden Untersuchung der oben bemerkten Kovarianten \(h_{\nu}\) und \(h_{\nu ,\sigma}\) gewidmet, und diese werden im folgenden Kapitel für eine Reihe von Fallunterscheidungen spezifiert. Im siebenten Kapitel wird die Bildung \(\varDelta_{\nu}\) verfolgt nebst ihren Unterdeterminanten. Die Glieder \(G\) von \(\varDelta_{\nu}\) besitzen gewisse ausgezeichnete Teilprodukte \(g_{\varrho}\), die im folgenden Kapitel selbständig untersucht werden. Nach diesen Größen \(g\) wird alsdann \(\varDelta_{\nu}\) entwickelt. Im achten Kapitel erhält man auf Grund der vorangegangenen Entwicklungen eine genauere Einsicht in die Struktur der Koeffizienten \(c_{ik}\) der \textit{Bézout}schen Determinante, und damit werden die oben angegebenen Endformeln für \(R_{f,\varphi}\) und \(p\) gewonnen.