Über einen Satz von Tschebyschef. (Q1496821)

Ist \(f(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leq x\) von der Form \(4n+3\), \(g(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(4n+1\leq x\), so behauptet Tschebyschef, daß, wenn zwei Größen \(\delta\), \(x_0\) gegeben sind, es oberhalb \(x_0\) ein \(x=x(\delta,x_0)\) gebe, so daß \[ \left( \frac {f(x)-g(x)}{\frac {\sqrt x}{\log x}}-1\right)<\delta. \] Dieser Satz ist 1891 zum ersten Male von E. Phragmén bewiesen worden. Der Verf. zeigt, daß alle übrigen Beweise von Polignac, Cesàro, Torelli teils falsch, teils unvollständig sind. Er selbst gibt in der vorliegenden Arbeit einen neuen einfacheren Beweis dieses Satzes. Der wesentliche Gedanke desselben ist, daß gezeigt wird, daß die für \(\text{Re}(s)>1\) konvergente Reihe: \[ \sum_{n=2}^{\infty}\frac {f(n)-g(n)-\frac {\sqrt n}{\log n}}{n^{s+1}} \] eine für \(\tfrac 12<s\leq 1\) reguläre analytische Funktion definiert; dieselbe hat für \(s=\frac 12\) eine singuläre Stelle, nähert sich aber bei Annäherung von rechts an dieselbe einem endlichen Grenzwert. Wäre aber der obige Tschebyschefsche Satz nicht erfüllt, so könnte auch letzteres nicht eintreffen. Zum Schluß wendet der Verf. einen bei diesem Beweise benutzten funktionentheoretischen Hülfssatz zur Vereinfachung verschiedener Beweise von E. Schmidt und E. Phragmén an.