Anwendungen einer Formel aus der Theorie der quadratischen Reste. (Q1496824)

Es sei \(\left( \frac mp \right)\) das \textit{Legendre}sche Symbol \((=+1,-1,0)\); dann betrachtet der Verf. Summen von folgender Gestalt: \(\sum_{(m)}\left(\frac {f(m)}p\right)\), wo \(f(m)\) eine ganze ganzzahlige Funktion von \(m\) ist, und die \(m\) ganzes Restsystem nach \(p\) durchlaufen sollen. Setzt man \[ f(a,b,c)=\sum_{m=1}^p\left(\frac {am^2+bm+c}p\right) , \] so ist \[ f(a,b,c)=\left(\frac ap\right)\left[ p-1-p\left(\frac {b^2-4ac}p\right)^2\right]+p\left(\frac cp\right)\left[ 1-\left(\frac ap\right)^2\right]\left[ 1-\left(\frac bp\right)^2\right] . \] Hieraus folgt: Wenn \(r\) ein beliebiger Rest, \(n\) ein Nichtrest nach \(p=4n+1\), ferner \[ \varphi (a)=\sum_{m=1}^p\left(\frac mp\right)\left(\frac {m^2+a}p\right) \] ist, so stellt sich \(p\) dar in der Form \[ p=\left(\frac {\varphi (r)}2\right)^2+\left(\frac {\varphi (n)}2\right)^2. \] Dies ergibt eine Anwendung auf die Theorie der biquadratischen Reste nach \textit{Gauß} (Bestimmung der Basen). Den Schluß bildet die Berechnung der Sequenzen, d. h. der Anzahl, wie oft \(\lambda\) quadratische Reste nach \(p\) aufeinander folgen \(\lambda =1,2,3\)).