Über den Zusammenhang einiger neuerer Sätze der analytischen Zahlentheorie. (Q1496847)

Es sei \(\pi (x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leq x,\vartheta (x)\) die Summe der natürlichen Logarithmen der Primzahlen \(\leq x,Q(x)\) die Anzahl der quadratfreien Zahlen \(\leq x\), ferner: \[ M(x)=\sum_{n=1}^x\mu (n),\quad g(x)=\sum_{n=1}^x\frac {\mu (n)}n, \quad f(x)=\sum_{n=1}^x\frac {\mu (n)\,\text{lg}\,n}n \] (\(\mu (x)\) die bekannte zahlentheoretische Funktion +1,-1,0). Dann geht der Verf. aus von den sechs Formeln: \[ (1)\quad \lim_{x=\infty}\frac {\vartheta (x)}x=1, \] \[ (2)\quad \lim_{x=\infty}\frac {\pi (x)\,\text{lg}\,(x)}x=1, \] \[ (3)\quad \lim_{x=\infty} g(x)=0, \] \[ (4)\quad \lim_{x=\infty}\frac {M(x)}x=0, \] \[ (5)\quad\lim_{x=\infty} f(x)=-1, \] \[ (6)\quad \lim_{x=\infty}\frac {Q(x)-\frac 6{\pi^2}x}{\sqrt x}=0 \] und weist verschiedene Beziehungen zwischen denselben nach, z. B. läßt sich (1) aus (5), (4) aus (1), (6) aus (4) herleiten. Der zweite Teil der Arbeit macht die gleichen Entwicklungen für einen beliebigen algebraischen Zahlkörper. Setzt man an Stelle von (5): \[ \lim_{x=\infty} f(x)=-\frac 1{\alpha}, \] wo \(\alpha\) eine durch den Körper wohlbestimmte positive Konstante ist, so gelten wieder die Sätze (1), (2), (3), (4), (5), und es folgt (1) aus (5), und (4) aus (1); ferner (3) aus (1).