Über die Verteilung der Primideale in den Idealklassen eines algebraischen Zahlkörpers. (Q1496859)

Diese Abhandlung behandelt das Problem der Bestimmung der Anzahl der Primideale einer Klasse eines beliebigen algebraischen Körpers. Der Verf. nimmt zunächst an, daß es unendliche viele Primideale \((\sum\frac 1{n({\mathfrak p})}\) divergiert) in der Klasse gibt. Ist dann \(\varrho (x)\) die Anzahlder Primideale, deren Norm \(\leq x\) ist, und \(m\) eine beliebige reelle Zahl, so ist \[ \lim_{x=\infty}\frac {\text{lg}^mx}x\left(\zeta (x)-\frac 1hLi(x)\right)=0. \] Damit ist gezeigt, daß es asymptotisch in jeder Idealklasse gleich viele Primideale gibt. Der Beweis schließt sich eng an die früheren Beweise des Verf. in dem Gebiet der ganzen rationalen Zahl an; vor allem wird die für einen allgemeinen Körper \(k\) definierte \(\zeta\)-Funktion \(\zeta_k(s)\) über die Gerade \(\mathfrak R(s)=1\) fortgesetzt und in dieser Fortsetzung abgeschätzt. Dabei gebraucht der Verf. die Sätze von \textit{H. Weber}, z. B. über die Anzahl \(A(x)\) der Ideale der Klasse des Körpers, deren Norm \(\leq x\) ist: \[ A(x)=gx+O\left(x^{1-\frac 1n}\right) , \] wo \(g\) die nur von Zahlen des Körpers abhängige Zahl, \(n\) der Grad desselben und \(O(x)\) eine Funktion ist, für die \(|\frac {O(x)}x|\) für alle \(x\) von einer gewissen Stelle an unterhalb einer endlichen Größe bleibt. Der zweite Teil beweist den Satz, daß, bei derselben Annahme wie oben: \[ \lim_{x=\infty}\frac {R(x)}{S(x)}=1 \] ist. Dabei ist \(R(x)\) die Anzahl der quadratfreien Ideale einer Klasse mit gerader, \(S(x)\) mit ungerader Anzahl von Primidealen. Zum Schluß zeigt der Verf., daß seine Annahme über die Divergenz von \(\sum\frac 1{n({\mathfrak p})}\) ebenfalls leicht beseitigt werden kann. Diese Divergenz ist leicht zu zeigen, falls die Klassenanzahl ungerade ist, oder im Falle des quadratischen Körpers. Im allgemeinen Falle läßt sich aus der Existenz des zu dem gegebenen Körper gehörigen Klassenkörpers leicht auf die Divergenz obiger Reihe schließen. Dieser Existenzbeweis ist aber von \textit{Furtwängler} erbracht worden. Der dritte Teil bringt die Ausdehnung dieser Theorie auf die Klasseneinteilungen in einem algebraischen Körper, wie sie \textit{H. Weber} in seiner zweiten Abhandlung ``über Zahlengruppen in algebraischen Körpern'' vorgenommen hat. Unter gewissen Voraussetzungen können auch hier die obigen Sätze bewiesen werden. Der vierte Teil bringt die Anwendung auf den quadratischen Körper, insbesondere den Körper \((\sqrt {-1})\). In demselben ist die Anzahl der komplexen Primzahlen \(\alpha\xi+\beta\), deren Norm \(\leq x\) ist, gleich \[ \frac 4{\varphi (\alpha )}Li(x)+O\left( xe^{-\root d\of {\text{lg}\,x}}\right) \quad (d=\text{Konst.}). \]