Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers. (Q1496862)

Die Arbeit bringt den Beweis der \textit{Existenz des Klassenkörpers}. Gegeben ein beliebiger algebraischer Körper \(k\) mit der Klassenanzahl \(h\). Dann versteht man unter dem Klassenkörper \(K\) von \(k\) einen Oberkörper, dessen Relativgruppe \textit{Abel}sch und mit der Gruppe der Klassen von \(k\) holoedrisch isomorph und dessen Relativdiskriminante gleich 1 ist. Das letztere drückt man auch so aus: der Körper \(K\) ist \textit{unverzweigt}. Um die Existenz zu zeigen, greift der Verf. eine bestimmte Primzahl aus \(h\) heraus und beweist die Existenz von zyklischen Relativkörpern, deren Relativgrade Potenzen von \(l\) sind. Hierzu ist zunächst die Annahme notwendig, daß \(k\) eine \(l\)-te primitive Einheitswurzel enthalte. Bestimmt man dann die singulären Primärzahlen \(\omega_1,\omega_2,\dots ,\omega_e\), so läßt sich mittels \textit{Dirichlet}scher Reihen beweisen, daß die Körper \((\root l \of{\omega}, k)\) unverzweigt in bezug auf \(k\) sind. Dieses Verfahren wird so oft fortgesetzt, als es die Potenz von \(l\), die in \(h\) enthalten ist, erfordert. Der Fall \(l=2\) verlangt eine besondere Betrachtung, da er es erforderlich macht, den Äquivalenzbegriff schärfer zu fassen. Aus der so bewiesenen Tatsache folgt die Existenz auch für jeden Körper, der keine \(l\)-te Einheitswurzel enthält. Eine Anwendung dieses Satzes ergibt, daß der hier konstruierte Körper im Falle, daß \(k\) ein quadratisch imaginärer Körper ist, identisch ist mit demjenigen Klassenkörper der komlpexen Multiplikation, der zu dem imaginär quadratischen Körper selbst gehört. Schließlich ergibt die Existenz des Klassenkörpers auch, verbunden mit den \textit{Weber}schen Untersuchungen über Zahlgruppen, den Beweis, daß in jeder Klasse von \(k\) unendlich viele Primideale sind.