Discontinuity region for arithmetical equivalence. (Q1496873)

Gegeben \(n\) lineare Formen \(\xi_1,\xi_2,\xi_3,\dots ,\xi_n\) der \(n\) Variabeln \(x_1,x_2,\dots ,x_n\) mit beliebigen reellen Koeffizienten \(\frac {\partial\xi_h}{\partial x_k}=\alpha_{hk}\). Zwei Systeme \(\xi_1,\xi_2,\dots ,\xi_n\) und \(\eta_1,\eta_2,\dots ,\eta_n\) heißen arithmetisch äquivalent, wenn jedes sich in das andere durch eine homogene lineare Substitution mit \textit{ganzzahligen} Koeffizienten transformieren läßt. Das Problem des Verf. ist, einen Bereich anzugeben, in dem jede Klasse äquivalenter Systeme durch einen Punkt, und wenn der Punkt ins Innere derselben fällt, auch nur durch einen Punkt repräsentiert wird. Auf das Gebiet der quadratischen Formen übertragen, lautet dieses Problem folgendermaßen: Gegeben die positive quadratische Form: \[ f=\xi_1^2+\xi_2^2+\dotsm +\xi_n^2 = \sum a_{hk}x_hx_k. \] Man suche in der Mannigfaltigkeit \(A\) der Koeffizienten \(a_{hk}\) einen Bereich \(B\), in dem jede Klasse positiver quadratischer Formen durch einen Punkt, und, wenn der Punkt ins Innere von \(B\) fällt, auch nur durch einen einzigen Punkt repräsentiert wird. Es seien \(f\) und \(g\) zwei arithmetisch äquivalente Formen mit der Substitutionsdeterminante \(\pm1\): \[ f=\sum a_{hk}x_hx_k,\quad g=\sum b_{hk}y_hy_k. \] Dann heißt \(f\) \textit{an} \(l\)-\textit{ter Stelle höher als} \(g\), wenn \[ a_{11}=b_{11},\quad a_{22}=b_{22},\dots ,a_{l-1,l-1}=b_{l-1,l- 1},\quad a_{ll}>b_{ll}; \] \(g\) ist niedriger gestellt als \(f\). Es gibt in jeder Klasse eine niedrigst gestellte Form \(g\), zu welcher keine andere Form niedriger ist und für die zugleich: \[ b_{12}>0,\quad b_{23}>0,\dots ,b_{n-1,n}>0. \] Hieraus ergibt sich einfach der Begriff der ``reduzierten Form'', die eine niedrigste Form ist. Die unendlich vielen Ungleichheiten, die dieselbe definieren, kann man durch eine endliche Anzahl ersetzen. Dieselben schließen den reduzierten Raum \(B\) ab, der ein konvexer Kegel mit der Spitze in \(f=0\) ist und durch eine endliche Anzahl von durch diesen Punkt laufenden Ebenen begrenzt wird. Die Kantenformen des Kegels sind solche, für die in den Ungleichheiten das Gleichheitszeichen auftritt. Konstruiert man sich ferner noch die Determinantenfläche \(D(f)=1\), welche einer positiven Form \(f\) entspricht, so ist dieselbe überall konvex gegen den Nullpunkt. Der reduzierte Raum bis zur Fläche \(D(f)=D\) besitzt ein bestimmtes endliches Volumen. Dasselbe wird mit Hülfe der \textit{Dirichlet}schen Methoden berechnet. Die Resultate dienen zur Berechnung asymptotischer Gesetze. Zum Beispiel liegt die Gesamtzahl aller verschiedenen Klassen ganzzahliger positiver quadratischer Formen von \(n\) Variabeln und von den Determinanten \(1,2,3,\dots ,D\) für \(n>2\) zwischen \[ v_nD^{\frac {n+1}2}\pm\omega_nD^{\frac {n+1}2-\frac 1n}, \] wo \(v_n\) das Volumen des reduzierten Raumes bis \(D(f)=1\) und \(\omega_n\) eine nur von \(n\) abhängige Konstante bedeutet. Ferner gestattet der Wert des Volumens auch einen Schluß auf die dichteste Ausfüllung des \(n\)-dimensionalen Raumes durch kongruente Kugeln.