Über die Grundlagen der Theorie der Fakultätenreihen. (Q1496950)

I. Wenn eine Fakultätenreihe \[ \varOmega (x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac {n!\,a_n}{x(x+1)\dots (x+n)} \] für \(x=x_0\) konvergiert, und wenn \({\mathfrak R}(x_1)>{\mathfrak R}(x_0)\) ist, so konvergiert die Reihe für \(x=x_1\). II. Eine Fakultätenreihe ist in einer gewissen Umgebung jeder (von \(0,-1,-2,\dots\) verschiedenen) Stelle im Innern ihrer Konvergenzhalbebene gleichmäßig konvergent. III. Eine Fakultätenreihe stellt in ihrer Konvergenzhalbebene eine mit eventueller Ausnahme der Punkte \(0,-1,-2,\dots\) reguläre analytische Funktion dar und darf dort beliebig oft gliedweise differenziert werden. IV. Das Gebiet der absoluten Konvergenz einer Fakultätenreihe ist -- falls die Reihe weder überall noch nirgends absolut konvergiert -- eine Halbebene, welche links durch eine Gerade \({\mathfrak R}(x)=\mu\) begrenzt ist, mit oder ohne Einschluß der ganzen Geraden \({\mathfrak R}(x)=\mu\) selbst. V. Wenn eine Fakultätenreihe für \(x_0\) konvergiert und \({\mathfrak R}(x_1)>{\mathfrak R}(x_0)+1\) ist, so ist die Reihe für \(x_1\) absolut konvergent. VI. Die Konvergenzhalbebenen der beiden Reihen \(\varOmega (x)\) und \(\varPsi (x)=\sum a_n/n^x\) \((n=1,\dots ,\infty )\) stimmen überein, und für jedes von \(0,-1,-2,\dots\) verschiedene \(x\) konvergieren beide Reihen oder divergieren beide Reihen gleichzeitig. VII. Die Punkte absoluter Konvergenz sind für die beiden Reihen \(\varOmega (x)\) und \(\mathbf\varPsi (x)\) dieselben. VIII. Falls die Abszisse \(\lambda\) der Konvergenzgeraden einer Fakultätenreihe \(\geq 0\) ist, so ist \(\lambda=\text{lim\,sup\,}_{t=\infty} \frac {\text{log}\left|\sum_{n=1}^ta_n\right|}{\text{log}\,t}\); falls die Abszisse \(\mu\) ihrer Grenzgeraden absoluter Konvergenz \(\geq 0\) ist, ist \(\mu =\text{lim\,sup\,}_{t=\infty} \frac {\text{log}\sum_{n=1}^t|a_n|}{\text{log}\,t}\). IX. Jede von \(0,-1,\dots\) verschiedene Stelle der Konvergenzgeraden \({\mathfrak R}=\lambda\) der Reihen \(\varOmega (x)\) und \(\varPsi (x)\) ist für beide (in der Halbebene \({\mathfrak R}(x)>\lambda\) durch \(\varOmega (x)\) und \(\varPsi (x)\) definierten) Funktionen regulär oder für beide singulär. X. Wenn alle Koeffizienten einer Fakultätenreihe mit endlicher Grenzgeraden \({\mathfrak R}(x)=\lambda\) von einer gewissen Stelle an reell und \(\geq 0\) sind, so ist der Punkt \(x=\lambda\) eine singuläre Stelle der Funktion. Über Binomilakoeffizientenreihen \[ W(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\frac {(x-1)(x-2)\dots (x-n)}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(\begin{matrix} x-1 \\ n \end{matrix} \right) \] lassen sich durchweg analoge Sätze beweisen; z. B.: \(I'\). Wenn \(W(x_0)\) konvergiert und \(x_0\) von \(1,2,\dots\) verschieden ist, so konvergiert \(W(x_1)\) für \({\mathfrak R}(x_1)>{\mathfrak R}(x_0)\). \(VI'\). In jedem von \(1,2,\dots\) verschiedenen Punkte sind die Binomialkoeffizientenreihe \(W(x)\) und die \textit{Dirichlet}sche Reihe \(\varPsi (x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac {(-1)^na_n}{n^x}\) gleichzeitig konvergent oder gleichzeitig divergent. \(VIII'\). Falls die Abszisse \(\lambda\) der Konvergenzgeraden von \(W(x)\) nicht negativ ist, so ist \(\lambda =\text{lim\,sup\,}_{t=\infty} \frac {\text{log}\left|\sum_{n=1}^t (-1)^na_n\right|}{\text{log}\,t}\); falls die Abszisse \(\mu\) der Grenzgeraden absoluter Konvergenz \(\geq 0\) ist, so ist \(\mu=\text{lim\,sup}_{t=\infty}\frac {\text{log}\sum_{n=1}^t|a_n|}{\text{log}\,t}\). Für \(F(x)=\sum A_n/(x+\gamma_1)(x+\gamma_2)\dots (x+\gamma_n)\) (die verallgemeinerten Fakultätenreihen) und für die verallgemeinerten Binomialkoeffizientenreihen \(G(x)=\sum A_n(x-\gamma_1)(x-\gamma_2)\dots (x-\gamma_n)\) \((n=0,\dots ,\infty )\), worin \(\gamma_1,\gamma_2,\dots\) positive, monoton ins Unendliche wachsende Größen bezeichnen, für welche die Reihe \(\sum 1/\gamma_n\) \((n=1,\dots ,\infty )\) divergiert, gelten die Sätze: \(I''\). Wenn \(F(x)\), bzw. \(G(x)\) für \(x=x_0\) konvergiert und \({\mathfrak R}(x_1)>{\mathfrak R}(x_0)\) ist, so konvergiert \(F(x_1)\) bzw. \(G(x_1)\). (Hierbei werden für \(F(x)\) die Stellen \(-\gamma_n\), für \(G(x)\) die Stellen \(\gamma_n\) ausgeschlossen.) \(II''\). In einer gewissen Umgebung jeder Stelle der Konvergenzhalbebene konvergiert \(F(x)\), bzw. \(G(x)\) gleichmäßig. \(V''\). Wenn \(\lambda\) und \(\mu\) die Abszissen der Grenzgeraden bedingter und absoluter Konvergenz von \(F(x)\) (bzw. \(G(x)\)) sind und \(\text{lim\,sup\,}_{t=\infty}\frac {\text{log}\,t}{\sum_{n=1}^t\frac 1{\gamma_n}}=\tau\) endlich ist, so ist \(\mu -\lambda\leq\tau\). Es sei \(\psi (t)\) für alle endlichen reellen \(t\geq 1\) eindeutig definiert, in jedem endlichen Intervalle \(t=(1\dots\omega )\) habe \(|\psi (t)|\) eine endliche obere Grenze und \(\psi (t)\) sei über jedes solches Intervall integrierbar, dann zerfallen alle Komplexen \(x=u+vi\) in zwei Klassen: 1. Die durch das Integral \(\int_1^{\infty}\psi (t)t^{-x}dt=J(x)\) für jedes \(\omega >1\) definierte Funktion von \(\omega\) besitzt für \(\omega =\infty\) einen Grenzwert. 2. Dies ist nicht der Fall. Im ersten Falle nennt man das Integral \(J(x)\) konvergent. Dann gilt: \(I'''\). Wenn \(J(x_0)\) konvergiert und \({\mathfrak R}(x_1)>{\mathfrak R}(x_0)\) ist, so konvergiert \(J(x_1)\). \(II'''\). In jedem endlichen Gebiete \(\mathfrak G\), welches innerhalb der Konvergenzhalbebene liegt, ist das Integral \(J(x)\) gleichmäßig konvergent. \(III'''\). \(J(x)\) stellt in seiner Konvergenzhalbebene eine reguläre analytische Funktion von \(x\) dar und darf in jener Halbebene beliebig oft unter dem Integralzeichen differenziert werden. \(IV'''\). Der Bereich absoluter Konvergenz von \(J(x)\) ist eine Halbebene \({\mathfrak R}(x)>\mu\) mit eventuellem Einschluß des Randes. \(VIII'''\). Falls \(\lambda\geq 0\) ist, so ist \(\lambda =\text{lim\,sup\,}_{\omega =\infty}\frac {\text{log}\left|\int_1^{\omega}\psi (t)dt\right|}{\text{log}\,\omega}\); falls \(\mu\geqq 0\) ist, ist \(\mu=\text{lim\,sup\,}_{\omega =\infty}\frac {\text{log}\int_1^{\omega}|\psi (t)|dt}{\text{log}\,\omega}\). \(X'''\). Wenn für alle \(t\) von einer gewissen Stelle an \((t\geq a)\)\,\,\,\, \(\psi (t)\geq 0\) ist und das Integral \(J(x)\) eine im Endlichen gelegene Konvergenzgerade \({\mathfrak R}(x)=\lambda\) besitzt, so ist \(x=\lambda\) eine singuläre Stelle der in der Halbebene \({\mathfrak R}(x)>\lambda\) durch das Integral definierten analytischen Funktion.