Séries trigonométriques et séries de \textit{Taylor}. (Q1496953)

Unter Benutzung des \textit{Lebesgue}schen Integralbegriffs und verwandter neuerer Methoden untersucht \textit{Fatou} im ersten Teile seiner Arbeit das \textit{Poisson}schen Integral \[ F(r,\theta )=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi} \frac {1-r^2}{1-2r\cos (\theta -u)+r^2}f(u)du; \] es definiert eine im Innern des Einheitskreises reguläre harmonische Funktion und nimmt auf seinem Umfange im Punkte \(u_0\) den Wert \(f(u_0)\) an, wenn die periodische Funktion \(f(u)\) stetig ist; aber auch unter der alleinigen Voraussetzung, daß \(f(u)\) seinem absoluten Werte nach eine (im \textit{Lebesgue}schen Sinne) summierbare Funktion ist, behält das Integral einen Sinn und definiert eine harmonische Funktion. Ist eine Funktion \(f'(u)\), die gleich der Ableitung einer stetigen Funktion \(f(u)\) von der Periode \(2\pi\) ist, gegeben, so ist es möglich, eine im Innern eines Kreises reguläre harmonische Funktion zu bestimmen, die den folgenden Bedingungen genügt: 1. In jedem Punkte \(u_0\) des Umfangs, für den \(f'(u_0)\) einen bestimmten endlichen oder unendlichen Wert hat, nimmt die harmonische Funktion den Wert \(f'(u_0)\) an, wenn man sich diesem Punkte längs des Radius nähert. 2. In jedem Punkte \(u_0\), in dem \(f'(u)\) endlich und stetig ist, nimmt die harmonische Funktion den Wert \(f'(u_0)\) an, auf welchem Wege man sich auch \(u_0\) nähern mag. Dafür, daß \[ \varPhi (r,\theta )=-\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}\frac {2r\sin (u-\theta)}{1+r^2-2r\cos (u-\theta )}f(u)du \] eine Grenze für \(r=1\) habe, ist die notwendige und hinreichende Bedingung die Existenz einer Grenze für das Integral \[ \int_{\varepsilon}^{+\pi}[f(\theta +t)-f(\theta -t)]\,\text{cotang}\frac t2 \,dt, \] wenn \(\varepsilon\) durch positive Werte gegen Null konvergiert. Das gleichmäßige Konvergieren dieses Integrals gegen seine Grenze ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das gleichmäßige Konvergieren von \(\varPhi (r,\theta )\) gegen seine Grenze. (\(\varPhi (r,\theta )\) ist der imaginäre Bestandteil der \textit{Taylor}schen Reihe, deren reeller Bestandteil \(F(r,\theta )\) ist.) Wenn der reelle Bestandteil einer \textit{Taylor}schen Reihe auf dem Konvergenzkreise stetig ist und einer \textit{Lipschitz}schen Bedingung \(|f(u+\delta )-f(u)|<k|\delta |^a\) genügt, wo \(k\) und \(a\) positive Konstanten sind, so ist auch der imaginäre Bestandteil stetig und genügt einer Bedingung derselben Form. Das \textit{Poisson}sche Integral für eine endliche summierbare Funktion stellt eine harmonische Funktion dar, die in allen Punkten des Umfanges (möglicherweise mit Ausnahme einer Punktmenge von der Mächtigkeit Null) einen wohl bestimmten Wert annimmt, wenn man sich einem dieser Punkte auf einem den Umfang nicht berührenden Wege nähert. Im zweiten Teile werden die Ergebnisse auf trigonometrische Reihen angewandt; das \textit{Poisson}sche Integral wird für den Fall untersucht, daß \(f(u)\) nicht eine endliche, sondern dem absoluten Betrage nach intergierbare Funktion ist. Eine \textit{Taylor}sche Reihe mit ganzen Koeffizienten kann nur dann eine algebraische Funktion darstellen, wenn ihr Konvergenzradius kleiner als Eins ist, wofern sie nicht gleich einem rationalen Bruche ist, dessen Pole sämtlich Wurzeln der Einheit sind. -- Wenn \(na_n\), \(nb_n\) mit \(1/n\) gegen Null konvergieren, so hat die Menge der Divergenzpunkte der Reihe \(\sum (a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta )\) für \(n=1,\dots ,\infty\) die Mächtigkeit Null. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß diese Reihe, wo \(na_n\) und \(nb_n\) mit \(1/n\) gegen Null konvergieren, für einen bestimmten Wert von \(\theta\) konvergent sei, besteht darin, daß die durch gliedweises Integrieren der Reihe erhaltene Funktion \(g(\theta )\) eine Ableitung \(g'(\theta )\) hat, die dann gleich der Summe der gegebenen Reihe ist. Wenn eine \textit{Taylor}sche Reihe (oder ihr reeller Bestandteil) in allen Punkten eines Bogens \(S\) des Konvergenzkreises konvergent ist, so gibt es in jedem Intervalle von \(S\) Punkte, in denen die Reihe einen wohl bestimmten Wert annimmt, längs aller dahin führenden Wege. Wenn eine \textit{Taylor}sche Reihe \(c_0+c_1z+c_2z^2+\dotsm \) einen der Einheit gleichen Konvergenzradius hat, und wenn \(c_n\) mit \(1/n\) gegen Null konvergiert, so ist sie in jedem regulären Punkte ihres Konvergenzkreises konvergent. Es gibt eindeutige analytische Funktionen, die als einzige Singularität eine geschlossene Grenzlinie (z. B. einen Kreis) haben und auf der Grenzlinie eine unendliche, nicht abzählbare Menge von Nullstellen. Wenn die Reihe \(\sum (a_n+ib_n)e^{in\varphi}\) konvergent ist und in einem beliebig kleinen Intervall Null zur Summe hat, so sind alle \(a_n\) und \(b_n\) Null. Wenn die Reihe \(\sum (a_n\cos nx+b_n\sin nx)\) in allen Punkten eines Intervalls absolut konvergent ist, so sind \(\sum a_n\) und \(\sum b_n\) absolut konvergent.