Note on the numerical transcendents \(S_n\) and \(s_n=S_n-1\). (Q1496974)

Zuerst wird eine kurze historische Übersicht über die Summierung der Reihe \(S_n=1+\frac 1{2^n}+\frac 1{3^n}+\frac 1{4^n}+\dotsm\) (\(n\) positiv ganz) gegeben. Setzt man \(s_n=S_n-1\), so hat man \[ \sum_2^{\infty} s_n=\left(\frac 12 \right)^2+\left(\frac 12\right)^3 +\left(\frac 14\right)^4+\left(\frac 12\right)^5+\dotsm \] \[ +\left(\frac 13\right)^2+\left(\frac 13\right)^3+\left(\frac 13\right)^4+\left(\frac 13\right)^5+\dotsm \] \[ +\left(\frac 14\right)^4+\left(\frac 14\right)^3 +\left(\frac 14\right)^4+ \left(\frac 14\right)^5+\dotsm \] \[ +\dotsm\dotsm \dotsm\dotsm\dotsm\dotsm\dotsm\dotsm \dotsm \dotsm \] \[ =\frac {\left(\frac 12\right)^2}{1-\frac 12} +\frac {\left(\frac 13 \right)^2}{1-\frac 13}+\frac {\left( \frac 14\right)^2}{1-\frac 14}+\dotsm \] \[ =\frac 12+\frac 1{2\cdot 3}+\frac 1{3\cdot 4}+\frac 1{4\cdot 5}+\dotsm =1, \] also \(s_2+s_3+s_4+\dotsm =1\). Ähnlich folgt \(s_2-s_3+s_4-\dotsm =\frac 12\). Der Zweck der Note ist überhaupt, die bekannten Relationen zwischen den \(s_i\) aus der obigen Darstellung herzuleiten. Zuletzt werden die Werte der \(s_i\) für \(i=2\) bis \(i=25\) auf 11 Stellen in einer Tafel gegeben, die der Verf. aus der \textit{Euler-Maclaurin}schen Summenformel neu berechnet hat.