General mean value and remainder theorems. (Q1496995)

\(f(x)\) sei eine reelle Funktion, die für \(\alpha \leq x\leq\beta\) nebst ihren \(n\) ersten Ableitungen stetig ist. \(x_0,x_1,\dots , x_n\) seien Punkte in \((\alpha ,\beta )\), die nicht verschieden zu sein brauchen. Jedem \(x_i\) werde eine Zahl \(k_i\) aus der Reihe \(0,1,\dots , n-1\) zugeordnet, so daß die Zahlenpaare \[ (1)\quad (k_i,x_i)\quad (i=0,1,\dots ,n) \] entstehen. Die Arbeit beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen den \(n+1\) Zahlen \(f^{(k_i)}(x_i)\) \((i=0,1,\dots ,n)\) und \(f^{(n)}(x)\). In dem Spezialfall, wo die \(n+1\) Paare \((1)\)\,\,\,\, \((0,\alpha ),(1,\alpha ),\dots , (n-1,\alpha),(0,\beta )\) lauten, wird diese Beziehung durch die \textit{Taylor}sche Formel: \[ f(\beta )=f(\alpha )+(\beta -\alpha )f'(\alpha )+\dotsm +\frac {(\beta -\alpha )^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(\alpha )+\int_{\alpha}^{\beta}f^{(n)}(x)\frac {(\beta -x)^{n-1}}{(n-1)!}dx \] ausgedrückt. Die allgemeine Relation, zu der der Verf. gelangt, ist folgende: \[ \sum_{i=0}^n f^{(k_i)}(x_i)\varDelta_i=\int_A^Bf^{(n)}(x)\varDelta (x)dx. \] Dabei sind \(A\) und \(B\) die Endpunkte des Punktsystems \(x_0,x_1,\dots ,x_n\). Die \(\varDelta_i\) sind Zahlen, \(\varDelta (x)\) eine Funktion, abhängig von den Zahlenpaaren (1). Obige Formel ist die Quelle eines neuen Mittelwertsatzes und eines neuen Resttheorems, wovon sich Anwendungen im Gebiet der mechanischen Differentiation und der mechanischen Quadratur machen lassen.