Notes on some points in the integral calculus. XVIII. On some discontinuous integrals. (Q1497030)

Das bestimmte Integral \(u=\int_0^{\infty} \frac {dx}x\sin (ax-b\sin x)\), in dem \(a\) und \(b\) reell vorausgesetzt sind, besitzt manche merkwürdige Eigenschaften. Seine Konvergenz folgt nicht unmittelbar aus den gewöhnlich benutzten Kriterien, läßt sich aber aus dem in der zweiten Note gegebenen Konvergenzsatze ableiten. (F. d. M. 32, 305 1901, JFM 32.0304.01.) Ferner ist es unstetig für jeden ganzzahligen Wert von \(a\); es ist nämlich \(u=\frac 12\pi\sum\varepsilon_nJ_n(b)\), wo die Summe von \(n=-\infty\) bis \(n=+\infty\) zu erstrecken und \(\varepsilon_n=1\), \(0\) oder \(-1\) ist, je nachdem \(a-n\) positiv, Null oder negativ ist. Das Integral (1) wird also für \(a=n\) unstetig im Betrage von \(\pi J_n\), und sein Wert für \(a=n\) ist das arithmetische Mittel für \(a=n-0\) und \(a=n+0\). Dasselbe gilt für \(\int_0^{\infty} \frac {dx}x\varphi (a,x)\), wo \(\varphi (a,x)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n\sin (a-n)x\) mit absolut konvergenter Summe \(\sum c_n\). Eine andere Darstellung des Integrals ist \(u=\frac 14\int_0^{2\pi} \frac {\sin (\frac 12x-b\sin x)}{\sin \frac 12 x}dx\), oder auch, wenn \(0<p<a<p+1,u=\frac 12\pi\{ 1-\int_0^b(J_p+J_{p+1})db\). Für \(a=0\) wird \(u=\frac 12\pi\int_0^bJ_0(b)db\), und wenn \(b=\infty\) ist, \(u=\frac 12\pi =2(J_1+J_3+\dotsm )\), obgleich jedes Glied der Reihe \(J_1,J_3,\dots\) verschwindet. Diese Ergebnisse können benutzt werden zur Aufstellung von Integralen, die für alle rationalen Werte eines Parameters unstetig sind, z. B. \(\int_0^{\infty}\frac {dx}xe^{\cos ax}.\sin (\sin ax-b\sin x)\).