Notes on some points in the integral calculus. XIX. On \textit{Abel}'s lemma and the second theorem of the mean. (Q1497031)

Statt des durch die Gleichung \[ \sum_m^na_{\nu}f_{\nu}=\sum_m^{n-1}(a_m+a_{m+1}+\dotsm +a_{\nu})(f_{\nu}-f_{\nu +1})+(a_m+\dotsm +a_n)f_n \] ausedrückten \textit{Abel}schen Lemmas benutzt \textit{Hardy} die Identität: \[ \begin{multlined} a_mf_m+a_{m+1}f_{m+1}+\dotsm +a_nf_n=\frac {f_m-f_{m+1}}{f_m-f_n}\{f_ma_m+f_n(a_{m+1}+\dotsm +a_n)\} \\ +\frac {f_{m+1}-f_{m+2}}{f_m-f_n}\{ f_m(a_m+a_{m+1})+f_n(a_{m+1}+\dotsm +a_n)\}+\dotsm \\ +\frac {f_{n+1}-f_n}{f_m-f_n}\{ f_m(a_m+\dotsm +a_{n-\nu})+f_na_n\} . \end{multlined} \] Aus dieser Identität lassen sich sofort die Konvergenzsätze von \textit{Abel} und \textit{Dirichlet} herleiten; doch bietet das keinen Vorteil gegenüber der \textit{Abel}schen Schlußweise. Dagegen läßt sich aus ihr ein sehr einfacher und direkter Beweis des zweiten Mittelwertsatzes folgern.