Über die Lösungen gewisser linearer Differentialgleichungen als Funktionen der singulären Punkte. (Q1497061)

In einer früheren Arbeit [Ann. Éc. Norm. (3) 20, 331--347 (1903; JFM 34.0457.01)] hat Verf. die Riemannsche Aufgabe der Bestimmung einer algebraischen Funktion \(y\) der komplexen Variable \(x\), die zu einer gegebenen Riemannschen Fläche mit den \(\sigma\) Verzweigungspunkten \(a_1,\dots, a_{\sigma}\) gehört, auf algebraische Weise behandelt. Es ergab sich, daß die algebraische Lösung dieser Aufgabe nicht die gesuchte Funktion \(y\) allein, sondern zugleich die Gesamtheit aller jener algebraischen Funktionen liefert, die aus der gesuchten durch ``Monodromie'' der Verzweigungspunkte hervorgehen, und daß diese Gesamtheit eine einzige monogene Funktion der \(\sigma +1\) Variabeln \(x,a_1,\dots, a_{\sigma}\) konstituiert, deren Zweige sich durch rein algebraische Hülfsmittel nicht voneinander trennen lassen; dieses Ergebnis setzt den wesentlichen Fortschritt in Evidenz, den die Riemannsche Fragestellung gegenüber der auf die Betrachtung einer gegebenen algebraischen Gleichung zwischen \(y\) und \(x\) gegründeten Untersuchung mit sich bringt. In der Theorie der linearen Differentialgleichungen steht der Untersuchung der durch eine gegebene Differentialgleichung definierten Funktionen mit Hülfe der von Fuchs begründeten Methoden die Riemannsche Fragestellung der Bestimmung eines Funktionensystems \(y_1,\dots ,y_n\) mit gegebenen Verzweigungspunkten \(a_1,\dots ,a_{\sigma}\) und gegebenen Fundamentalsubstitutionen \(A_1\), \(\dots, A_{\sigma}\) gegenüber. Auch hier führt die Auffassung Riemanns mit Notwendigkeit dazu, die gesuchten Funktionen nicht als Funktionen von \(x\) allein, sondern in ihrer Abhängigkeit von den \(\sigma +1\) unabhängigen Variabeln \(x,a_1,\dots ,a_{\sigma}\) zu studieren, eine Frage, die Verf. namentlich im [J. Reine Angew. Math. 124, 292--319 (1902; JFM 33.0329.03)] erörtert hat. In der vorliegenden, dem Andenken Lejeune-Dirichlets gewidmet Arbeit teilt Verf. einige weitere auf diese Frage bezugnehmende Entwicklungen mit, die für die Theorie der linearen Differentialgleichungen das Analogon zu dem oben erwähnten Ergebnisse aus der Theorie der algebraischen Funktionen aufzufinden suchen. Dabei stützt Verf. sich auf die neuen Grundlagen, die er im Anschluß an ältere Arbeiten von Volterra für die Theorie der homogenen linearen Differentialsysteme skizziert hat [J. Reine Angew. Math. 128, 263--297 (1905; JFM 36.0382.01)], und die es ermöglichen, die Existenz der durch das Riemannsche Problem postulierten Funktionensysteme mit Hülfe der Kontinuitätsmethode zu erweisen [J. Reine Angew. Math. 130, 26--46 (1905; JFM 36.0383.01)].