Über eine Differentialgleichung der Störungstheorie. (Q1497092)

Die vorliegende Abhandlung enthält die Untersuchung einer bereits von \textit{Lindstedt} (``Beitrag zur Integration der Differentialgleichungen der Störungstheorie'', Petersburg 1883, S. 17; F. d. M. 15, 983, JFM 15.0983.02) und \textit{Poincaré} (``Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste'', Paris 1893, 283 ff.) behandelten Differentialgleichung aus der Mechenik des Himmels mit Hülfe von Sätzen die Verf. in seiner Dissertation (Dorpat 1893) abgeleitet hat. Die Differentialgleichung lautet \[ (1)\quad\frac {d^2x}{dt^2}+xf(t)=\varphi (t); \] darin sind \(f(t)\) und \(\varphi (t)\) ``im weiteren Sinne periodische Funktionen mit den Perioden \(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\)'' (vgl. \textit{Esclangon}, C. R. 135 u. 137, ``Les fonctions quasi-périodiques,'' Ann. de l'observatoire de Bordeaux 1904), d. h. durch eine für alle \(t\) gleichmäßig konvergente Reihe \(u_1+u_2+u_3+\dotsm\) darstellbar, wobei die \(u\)-Glieder ganze rationale Funktionen von \(\cos\frac {2\pi t}{\alpha_{\mu}}\), \(\sin\frac {2\pi t}{\alpha_{\mu}}\) (\(\mu =1,2,\dots ,m;\,\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\) von Null veschiedene Konstanten) sind. Ferner wird vorausgesetzt, daß jede Lösung der Gleichung (1) zwischen endlichen Grenzen liegt. Die allgemeine Lösung der Gleichung (1) kann dann in der Form \[ (2)\quad x=c_1\frac {\cos\int_0^tRdt}{\sqrt R}+c_2\frac {\sin\int_0^tRdt}{\sqrt R}+T \] dargestellt werden; hierhin bedeuten \(c_1,c_2\) willkürliche Konstanten, \(T\) und \(R\) im weiteren Sinne periodische Funktionen mit den Perioden \(\alpha_1,\alpha_2,\dots ,\alpha_m\); dieselben besitzen Ableitungen erster und zweiter Ordnung, welche ebenfalls im weiteren Sinne periodisch mit den genannten Perioden sind. \(R\) ist für alle \(t\) gleich oder größer als eine positive Konstante; alle vorkommenden Größen sind reell, alle Quadratwurzeln ``nicht negativ'' zu nehmen. Die allgemeine Lösung kann kürzer in der Form \[ (3)\quad x=T+C\frac {\cos\int_c^tRdt}{\sqrt R} \] dargestellt werden, wobei \(C\) und \(c\) willkürliche Konstanten bedeuten. Sind umgekehrt \(R\) und \(T\) Funktionen, welche den genannten Bedingungen genügen, so stellt (2) das allgemeine Integral einer Differentialgleichung dar, welche den Typus der Gleichung (1) besitzt. -- Die Gleichung (1) besitzt außer der Lösung \(x=T\) dann und nur dann noch eine im weiteren Sinne periodische Lösung mit irgendwelchen Perioden, wenn \(\int_0^tRdt\) in der Form (4) \(\int_0^tRdt=\gamma .t+\) im weiteren Sinne periodische Funktion mit den Perioden \(\alpha_1,\dots ,\alpha_m\) darstellbar ist (\(\gamma\) eine Konstante). Ist eine solche Darstellung möglich, was jedoch keineswegs immer der Fall ist, so sind \textit{alle} Lösungen von (1) im weiteren Sinne periodisch.