Sur la recherche des solutions particulières des systèmes différentiels et sur les mouvements stationnaires. (Q1497095)

Eine zusammenfassende, vereinfachte und vervollständigte Darstellung früherer in den Rendiconti dei Lincei 1901 und 1905 über die Bestimmung partikularer Lösungen von kanonischen Differentialgleichungssystemen veröffentlichten Untersuchungen des Verf. (vgl. F. d. M. 32, 720-721, 1901, JFM 32.0720.01). Als Ausgangspunkt der Betrachtungen dient die Verallgemeinerung einer für die Dynamik wichtigen Methode, der sogenannten Ignorierung der Koordinaten, die sich als Folgerung aus einem allgemeineren Prinzip erweist, welchem jedes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen gehorcht. Dieses Prinzip wird sehr anschaulich, wenn man es in geometrischer Einkleidung ausdrückt. Stellt man nämlich die Lösungen eines beliebigen Systems von Differentialgleichungen als Kurven im Raume von einer entsprechenden Anzahl von Dimensionen dar und nennt invariant jede durch den Inbegriff der Integralkurven gebildete Mannigfaltigkeit, so ist klar, daß der gemeinschaftliche Teil zweier invarianten Mannigfaltigkeiten wieder invariant ist, und insbesondere wird das stattfinden für die eventuellen Durchschnitte einer Mannigfaltigkeit \(V\) mit sich selbst, d. h. für die Untermannigfaltigkeit \(W\), den Ort der zweifachen Punkte von \(V\). Die Kenntnis von \(V\) zieht die von \(W\) nach sich; da aber die der zweiten Mannigfaltigkeit im allgemeinen beschränkter ist, so hängt die Bestimmung ihrer Integralkurven von einer Reihe minder hoher analytischer Operationen ab. Aus dieser einfachen Bemerkung folgt eine bequeme Regel zur Herstellung partikularer Lösung von Differentialgleichungssystemen. In den zwei ersten Kapiteln dieser Abhandlung werden diese Regel und die daraus für die kanonischen Systeme fließenden Resultate entwickelt. Die zwei letzten Abschnitte enthalten dynamische Anwendungen und einige kritische Bemerkungen.