Sur certaines séries asymptotiques. (Q1497096)

Verf. betrachtet ein lineares Differentialsystem \[ \frac {dy_k}{dx}=\sum_{\lambda =1}^na_{\lambda_k}y_{\lambda} \quad (k=1,2,\dots ,n), \] dessen Koeffizienten \(a_{i_k}\) rationale Funktionen von \(x\) sind und von einem Parameter \(\mu\) abhängen, derart, daß \[ a_{i_k}=\mu^{\tau}\left(a_{i_k}^{(0)}+\frac 1{\mu}a_{i_k}^{(0)}+\dotsm \right) , \] wo \(\tau\) eine ganze positive Zahl ist; die \(a_{i_k}^{(\nu )}\) sind ebenfalls rationale Funktionen von \(x\), und die Reihen rechterhand konvergieren für \(|\mu |>R\), wo \(R\) von \(x\) unabhängig ist. Nach einem bekannten Satze (vgl. \textit{Horn}, Math. Ann. 52, 343) ist \(\mu =\infty\) wesentlich singulärer Punkt für die Elemente einer Integralmatrix \((f_{i_k})\), die sich für den regulären Punkt \(x_0\) auf die Anfangswerte \[ f_{i_k}(x_0)=\mu^{\lambda}\left( \gamma_{i_k}^{(0)}+\frac 1{\mu}\gamma_{i_k}^{(1)}+\dotsm \right) \] reduzieren und als Funktionen des Parameters \(\mu\) aufgefaßt werden. Verf. untersucht diese Funktionen mittels asymptotischer Reihen in der Umgebung des Punktes \(\mu =\infty\), und zwar für den Fall \(\tau =1\), \(\lambda =0\).