Theorie der linearen Iteralgleichung mit konstanten Koeffizienten. (Q1497105)

Verf. unterscheidet \textit{litterale} und \textit{funktionale} Substitutionen: Sind \(\Re (\xi -\alpha )\) und \({\mathfrak S}(\eta -\beta )\) die Elemente zweier analytischen Fuktionen \(f(\xi )\) und \(g(\eta )\), und wird das Substitutionsprodukt \(g(f(\xi ))\) für die Umgebung des Punktes \(\alpha\) gebildet, indem man die Reihe \(\Re\) buchstäblich in die Reihe \({\mathfrak S}\) an Stelle von \(\eta\) einsetzt und die einzelnen Glieder nach Potenzen von \(\xi -\alpha\) entwickelt, so heißt (vorausgesetzt, daß die neue Reihe konvergiert) die Substitution \textit{litteral}; wird dagegen die Reihe \(\Re\) nicht in \({\mathfrak S}\) selbst, sondern in eine aus \({\mathfrak S}\) durch analytische Fortsetzung abgeleitete Reihe eingesetzt, so heißt die Substitution \textit{funktional}: dieselbe ist allgemeiner als die litterale und im allgemeinen eine vieldeutige Operation. Für \(g=f\) wird aus der Substitution die Iteration. Für Reihen von der Form \[ R(\xi -\alpha )=\alpha +a_1(\xi -\alpha )+a_2(\xi -\alpha )^2+\dotsm \] ist bei der litteralen Iteration der Mittelpunkt des Konvergenzkreises ein Fixpunkt und daher ihre unbeschränke Iterierbarkeit von vornherein garantiert; sie heißen \textit{Hauptreihen}. -- Verf. betrachtet nun lineare Iteralgleichungen mit konstanten Koeffizienten \[ (1)\quad f_{(n)}(\xi )+a_1f_{(n-1)}(\xi )+\dotsm +a_{n-1}f(\xi )+a_n\xi =0, \] worin \(f_{(k)}(\xi )\) das \(k\)-te ``Iterat'' von \(f(\xi )\) bedeutet (\(\xi\) ist das 0-te, \(f(\xi )\) das 1-te Iterat); dieselben lassen sich bekanntlich durch eine Substitution \(\varphi (x+1)=f(\varphi (x))\) in eine lineare Differenzengleichung transformieren; doch bleibt wegen der bisher unüberwundenen Schwierigkeit des Existenzbeweises von \(\varphi (x)\) die Frage offen, ob man so \textit{alle} Lösungen von (1) erhält. Die Gleichung \(g(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dotsm +a_{n-1}x+a_n\) heißt die \textit{Grundgleichung} des Problems. Man hat nun nach obigem zwischen der funktionalen und der litteralen Lösung von (1) zu unterscheiden. Für die funktionale Lösung gelten folgende Sätze: 1. Die allgemeine Gleichung (1) besitzt immer eine funktionale Lösung, die in der ganzen Ebene existiert und noch von \(n-1\) willkürlichen Parametern abhängig ist. 2. Soll unter den unendlich vielen Lösungen der Iteralgleichung (1) (die man mit Hülfe der Differenzengleichung erhält) eine algebraische vorkommen, die zudem keiner Iteralgleichung derselben Art von niedrigerer Ordnung genügt, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung hierfür die, daß die sämtlichen Wurzeln der zugehörigen Grundgleichung voneinander verschieden sind und sich als positiv- oder negativ-ganzzahlige Potenzen einer einzigen Größe darstellen lassen. Zu ganz anderen Ergebnissen gelangt Verf. für die litterale Lösung der Gleichung (1); er stellt sich hier die Aufgabe, alle Iteralgleichungen der Form (1) aufzustellen, die eine Hauptreihe als Lösung (``Hauptlösung'') zulassen, und diese selbst explizite zu entwickeln; oder, mit anderen Worten, alle Hauptreihen anzugeben von der Eigenschaft, daß zwischen einer endlichen Anzahl ihrer Iterate eine lineare Relation besteht. Es ergibt sich das interessante Resultat, daß diese Hauptreihen (von einem besonderen Falle abgesehen) algebraische Funktionen darstellen; es gilt nämlich folgender Satz: ``Eine lineare Iteralgleichung mit konstanten Koeffizienten hat im allgemeinen keine Hauptlösung. Soll eine solche existieren, so ist notwendig und hinreichend, daß unter den Wurzeln der zugehörigen Grundgleichung eine Gruppe von \(n\) Wurzeln vorkommt, die ganzzahlige Potenzen einer bestimmten \((\omega )\) unter ihnen sind. Es kann mehrere solcher Gruppen geben. Zu jeder Gruppe gehört eine Iteralgleichung, die reduziert heißt. Die Hauptlösungen der vorgelegten Iteralgleichung sind gegeben durch die Gesamtheit der Lösung dieser reduzierten Gleichungen. Eine reduzierte Iteralgleichung \(n\)-ter Ordnung hat im allgemeinen nur eine primitive Hauptlösung, die \(n-1\) willkürliche Parameter enthält und eine algebraische Funktion von range Null darstellt. Nur wenn \(\omega\) eine \(\nu\)-te Einheitswurzel ist \((\nu\not= 1)\), hängt die Hauptlösung von \(n-1\) willkürlichen Potenzreihen ab. Es gibt dann also unendlich viele Hauptlösungen (algebraische und transzendente), die aber alle zugleich zyklische Funktionen von der Periode \(\nu\) sind.'' Dieser Satz ist die Folge einer Reihe von Sätzen, die Verf. für die allgemeinere Gleichung \[ \varPhi (f_{(n)})+a_1\varPhi (f_{(n-1)})+\dotsm +a_{n-1}\varPhi (f)+a_n\varPhi (\xi )=0 \] ableitet, und zwar für den besonderen Fall \(\varPhi =\xi\). Das Problem ist einer Erweiterung fähig, indem man auch gewisse Reihen mit negativen und gebrochenen Exponenten zuläßt; dieselben Pinzipien lassen sich endlich auch beim Studium simultaner Iteralgleichungen zwischen Funktionen mehrerer Variablen verwerten.