Recherches sur la théorie des caractéristiques. (Q1497133)

Bei den Untersuchungen über die Integrale partieller Differentialgleichungen, die eine charakteristische Mannigfaltigkeit enthalten, pflegt man sich auf ein hinreichend kleines Gebiet, in dem diese Integrale holomorph sind, zu beschränken. In der vorliegenden Arbeit werden weitergehende Untersuchungen, zunächst für Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, gemacht. Die Integrale werden nicht nur in einem beschränkten Gebiet untersucht, sondern in der Umgebung der ganzen charakteristischen Mannifaltigkeit. Insbesondere werden Untersuchungen über die beweglichen Singularitäten, die die Integrale auf der Charakteristik haben können, und über die Natur dieser Singularitäten angestellt. Nach einigen einleitenden Sätzen über analytische Kurven und Flächen wendet sich der Verf. zunächst den Differentialgleichungen erster Ordnung zu. Durch eine Transformation wird der allgemeine Fall auf den speziellen zurückgeführt, daß die Charkteristik durch die Gleichungen \(y=z=p=q=0\) dargestellt ist. Der Verf. sucht dann unter der unendlichen Anzahl von Integralen, die die gegebene Charakteristik enthalten, dasjenige, das sich für \(x=a\) auf die gegebene Funktion \(f(y)\) reduziert. Für dieses Integral findet er die folgende Entwicklung: \[ Z=\psi_2(x)y^2+\psi_3(x)y^3+\dotsm +\psi_n(x)y^n+\dotsm , \] während \[ f(y)=\psi_2(a)y^2+\psi_3(a)y^3+\dotsm +\psi_n(a)y^n+\dotsm \] ist. Es werden Methoden zur Berechnung von \(\psi_2(x),\psi_3(x),\dots\) angegeben, und es ergibt sich dann folgendes Theorem: Es sei \(D_x'\) ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so daß \(\psi_2(x)\) in diesem Gebiete und auf der begrenzenden Kurve holomorph ist. Dann kann man dem Gebiete \(D_x'\) eine positive Zahl \(\eta\) so zuordnen, daß das aufgestellte Integral \(z\) eine holomorphe Funktion von \(x\) und \(y\) ist, wenn sich \(x\) in \(D_x'\) aufhält und \(y\) in einem Kreise mit dem Radius \(\eta\) um \(y=0\) bleibt. In betreff der Singularitäten der Integrale findet der Verf. folgenden Satz: Die einzigen beweglichen Singularitäten, die die analytischen Integrale einer analytischen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung auf einer Charakteristik haben können, sind algebraischer Natur. Die betrachtete Charakteristik einer Differentialgleichung zweiter Ordnung wird durch eine Transformation in die Form \(y=z=p=q=r=s=t=0\) gebracht. Es gibt dann unter den alle Elemente der Charakteristik anthaltenden Integralen eines: \[ z=\psi_3(x)y^3+\psi_4(x)y^4+\dotsm , \] welches sich für \(x=0\) auf eine gegebene Funktion \(f(y)\) reduziert. Und wenn \(\psi_3(x)\) in einem einfach zusammenhängenden Gebiete \(D_x'\) und auf der begrenzenden Linie holomorph ist, so kann man wieder entsprechend \(D_x'\) eine positive Zahl \(\eta\) so finden, daß \(z\) eine holomorphe Funktion von \(x\) und \(y\) ist, wenn \(D\) in \(D_x'\) verbleibt und \(|y|<\eta\) ist. Eien besondere Betrachtung wird noch der \textit{Monge-Ampère}schen Gleichung gewidmet. Das Studium der beweglichen Singularitäten für partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung soll den Gegenstand einer späteren Untersuchung bilden.