De l'intégration de l'éqaution \(\varDelta u=e^u\) sur une surface de \textit{Riemann} fermée. (Q1497139)

In der vorliegenden Arbeit gibt \textit{Picard} einige Ergänzungen und Vereinfachungen zu seinen früheren Arbeiten (vgl. F. d. M. 29, 312, 1898, JFM 29.0312.02) über die partielle Differentialgleichung \(\varDelta u=e^u\), auf die er durch seine über den Gegenstand im Jahre 1900 gehaltenen Vorlesungen geführt worden ist. Es handelt sich dabei um folgenden Satz: Gegeben ist eine \(m\)-blätterige \textit{Riemann}sche Fläche; dann existiert ein und nur ein Integral der Gleichung \(\varDelta u=ke^u\) mit den folgenden Eigenschaften: Es ist eindeutig und stetig mit Ausnahme der gegebenen Punkte \(O_1,O_2,\dots ,O_n\) und der \(m\) Unendlichkeitspunkte, den \(m\) Blättern entsprechend. Über die Art der Verzweigung in diesen Punkten gilt folgendes: In der Umgebung von \(O_i\) ist \(u=\beta_i\log r_i+v_i\), wo \(v_i\) sich in \(O_i\) regulär verhält und \(r_i\) die Entfernung des Punktes \((x,y)\) von \(O_i\) bedeutet. Für die Unendlichkeitsstelle auf dem Blatte vom Range \(h\) denkt man sich die Transformation \(x'+iy'=\frac 1{x+iy}\) ausgeführt, wodurch dieselbe in die endliche Stelle \(O_h'\) übergehen möge. Dann wird in ihrer Umgebung \(u=\alpha_h\log r_h'+V_h\), wo wieder \(V_h\) regulär bei \(O_h'\) und \(r_h'\) die Entfernung des transformierten Punktes \((x,y)\) von \(O_h'\) ist. Für \(\beta_i\) und \(\alpha_h\) hat man die Ungleichungen \[ \beta_i>-2\quad (i=1,2,\dots ,n), \] \[ \alpha_h>2\quad (h=1,2,\dots ,m), \] \[ \alpha_1+\alpha_2+\dotsm +\alpha_m+\beta_1+\beta_2+\dotsm +\beta_n<0. \]