Herleitung der partiellen Differentialgleichung der Potentialfunktion aus deren Integraleigenschaft. (Q1497156)

Es werden zwei Sätze für die Ebene und den Raum aufgestellt, von denen der für den Raum folgendermaßen lautet: Im Raume, dessen Punkte durch rechtwinklige kartesische Koordinaten \(x,y,z\) bestimmt werden, sei ein dreidimensionaler Bereich \(\sum\) gegeben und für diesen Bereich eine reelle stetige Funktion mit stetigen Ableitungen \(\frac {\partial u}{\partial x},\frac {\partial u}{\partial y},\frac {\partial u}{\partial z}\) erklärt. Ferner sei, wenn \(S\) irgend einen im Innern von \(\sum\) enthaltenen Raumteil, \(s\) seine Oberfläche, \(\partial u /\partial n\) die Ableitung der Funktion \(u\) in der Richtung der inneren Normalen zur Oberfläche bezeichnet, \({\begin{matrix} {} \\ \int \int \\ s \end{matrix}}\frac {\partial u}{\partial n}ds=0\). Es soll bewiesen werden, daß \(u(x,y,z)\) der Gleichung \(\varDelta u=0\) genügt. Es wird dann noch ein dritter Satz hinzugefügt und alle drei Sätze werden in einen vierten wie folgt zusammengefaßt: Anstatt von einer Funktion \(u(x,y)\) oder \(u(x,y,z)\) zu verlangen, 1. daß sie nebst ihren partiellen Ableitungen bis zur zweiten Ordnung stetig ist und der Gleichung \(\varDelta u=0\) genügt, kann man verlagen, 2. daß sie nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetig ist und der Integralbedingung \(\int_s\frac {\partial u}{\partial n}ds=0\) genügt, oder 3. daß sie stetig ist und die \textit{Gauß}sche Mittelwerteigenschaft besitzt. Die genannten drei Forderungen sind völlig äquivalent.