On the theorem of Osgood in the calculus of variations. (Q1497174)

Es sei \({\mathfrak F}_0\) ein die beiden Punkte \(P_0\) und \(P_1\) verbindender Extremalenbogen des Integrals \[ I=\int_{t_0}^{t_1} F(x,y,x',y')\,dt, \] der keine mehrfachen Punkte enthält und den folgenden Bedingungen genügt: In keinem seiner Punkte verschwinden \(x'\) und \(y'\) gleichzeitig. Die Funktion \(F_1=\frac 1{y^{'2}}F_{xx}=-\frac 1{x'y'}F_{xy}=\frac 1{x^{'2}}F_{yy}\) ist in jedem seiner Punkte größer als Null. Die \textit{Weierstraß}sche Funktion \[ \begin{multlined} E(x,y;x',y';\overline x',\overline y')=x'\{F_{x'}(x,y,\overline x',\overline y')-F_{x'}(x,y;x',y')\} \\ +y'\{F_{y'}(x,y,\overline x',\overline y')-F_{y'}(x,y,x',y')\} \end{multlined} \] ist auf ihm für alle \(\overline x',\overline y'\) positiv und verschwindet nur (\textit{Kneser}) in ordentlicher Weise. Der Bogen \(P_0P_1\) von \({\mathfrak F}_0\) enthält den zu \(P_0\) konjugierten Punkt nicht. Dann beweist der Verf. den folgenden, nach \textit{Osgood} benannten Satz: Zu jeder ganz im Innern des Gebietes \(U\), für das \(F\) definiert ist, liegenden Nachbarschaft \(U'\) der Extremalen \({\mathfrak F}_0\) gehört eine positive Konstante \(\varepsilon\) derart, daß jede ganz in \(U\), aber nicht ganz in \(U'\) verlaufende Vergleichskurve \(C\) dem Integrale \(J\) einen um mindestens \(\varepsilon\) größeren Wert erteilt, als die Extremale \({\mathfrak F}_0\), also \[ I_C-I_{{\mathfrak F}_0}\geq\varepsilon . \] Dem Beweise dieses Satzes in dem ersten Paragraphen folgt in den beiden letzten Paragraphen seine Verallgemeinerung auf die einfachsten isoperimetrischen Probleme und auf das Problem: Unter allen Kurven, die zwei Punkte 0 und 1 des Raumes verbinden und der Differentialgleichung \(\varphi (x,y,z,x',y',z')=0\) genügen, diejenige zu bestimmen, die das Integral \(\int_{t_0}^{t_1}F(x,y,z,x',y',z')\,dt\) zu einem Minimum macht.